定比分点定比分点公式(向量P1P=向量PP2
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。

则存在一个实数,使向量P1P=向量PP2,叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

若P1(x1,y1,P2(x2,y2,P(x,y,则有
OP=(OP1+OP2(1+;(定比分点向量公式
x=(x1+x2/(1+,
y=(y1+y2/(1+。

(定比分点坐标公式
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b0,则a//b的重要条件是存在唯一实数,使a=b。

a//b的重要条件是 xy-xy=0。

零向量0平行于任何向量。

[编辑本段]向量垂直的充要条件
ab的充要条件是 ab=0。

ab的充要条件是 xx+yy=0。

零向量0垂直于任何向量.
设a=(x,y,b=(x,y。

1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x,y+y。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b+c=a+(b+c。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即共同起点,指向被减
a=(x,y b=(x,y 则 a-b=(x-x,y-y.
4、数乘向量实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且∣a∣=∣∣∣a∣。

当>0时,a与a同方向;
当<0时,a与a反方向;
当=0时,a=0,方向任意。

当a=0时,对于任意实数,都有a=0。

注:按定义知,如果a=0,那么=0或a=0。

实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(>0或反方向(<0上伸长为原来的∣∣倍;
当∣∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(>0或反方向(<0上缩短为原来的∣∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(ab=(ab=(ab。

向量对于数的分配律(第一分配律:(+a=a+a.
数对于向量的分配律(第二分配律:(a+b=a+b.
数乘向量的消去律:①如果实数0且a=b,那么a=b。

②如果a0且a=a,那么=。

3、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a,b。

作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0〈a,b〉
定义:两个向量的数量积(内积、点积是一个数量,记作ab。

若a、b不共线,则ab=|a||b|cos 〈a,b〉;若a、b共线,则ab=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示:ab=xx+yy。

向量的数量积的运算律
ab=ba(交换律;
(ab=(ab(关于数乘法的结合律;
(a+bc=ac+bc(分配律;
向量的数量积的性质
aa=|a|的平方。

ab 〈=〉ab=0。

|ab||a||b|。

向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(abca(bc;例如:(ab^2a^2b^2。

2、向量的数量积不满足消去律,即:由 ab=ac (a0,推不出 b=c。

3、|ab||a||b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。

4、向量的向量积定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积是一个向量,记作ab。

若a、b不共线,则ab的模是:∣ab∣=|a||b|sin〈a,b〉;ab的方向是:垂直于a和b,且a、b 和ab按这个次序构成右手系。

若a、b共线,则ab=0。

向量的向量积性质:
∣ab∣是以a和b为边的平行四边形面积。

aa=0。

a‖b〈=〉ab=0。

向量的向量积运算律
ab=-ba;
(ab=(ab=a(b;
(a+bc=ac+bc.
注:向量没有除法,向量AB/向量CD是没有意义的。

向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣∣a+b∣∣a∣+∣b∣;
①当且仅当a、b反向时,左边取等号;
②当且仅当a、b同向时,右边取等号。

2、∣∣a∣-∣b∣∣∣a-b∣∣a∣+∣b∣。

①当且仅当a、b同向时,左边取等号;
②当且仅当a、b反向时,右边取等号。