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（2）2× 或 ×2 对策的图解法
注意：该方法用在赢得矩阵为 2× 或 ×2 阶的对策上特别方便，也可用在 3× 或
×3 对策上。但对 和 均大于 3 的矩阵对策就丌适用了。
设缩减后的赢得矩阵为二阶无鞍点对策问题，局中人Ⅰ的混合策略为
的最优纯策略。 定理 1 矩阵对策 使得对一切
在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势
，均有
。
定义 2 设
为一个定义在
及
上的实值函数，如果存在
，使得对一切
和
，有
，则称
为
函数 的一个鞍点。 矩阵对策解的性质：
性质 1 无差别性。即若 性质 2 可交换性。即若
也是解。 定义 3 设有矩阵对策
记
是对策 G 的两个解，则
定理 11 设矩阵对策
的值为 ，则
6．矩阵对策的解法 （1）2×2 对策的公式法 所谓 2×2 对策是指局中人Ⅰ的赢得矩阵为 2×2 阶的，即
如果 A 有鞍点，则很快可求出各局中人的最优纯策略；如果 A 没有鞍点，为求最优混 合策略可求下列等式组：
上面等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）一定有严格非负解
和
，其中
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是对策 G 的两个解，则
和
，其中
，
，
则 和 分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的混的混合策略（或策略）；对
，称
为一个混合局势（或局
势），局中人Ⅰ的赢得函数记成
这样得到的一个新的对策记成
，称 为对策 G 的混合扩充。
定义 4 设
是矩阵对策
的混合扩充，如果
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，局中
人Ⅱ的混合策略为
，即
则赢得期望值为
（3）线性方程组法
求解矩阵对策解
的问题可转化成求解下面两个方程组的问题：
和 如果上述方程组存在非负解 和 ，便求得了对策的一个解
。如果由上述两
示局中人的集合，一般要求一个对策中至少要有两个局中人。
策略集：一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的完整的行劢方案称为一个策略。
参加对策的每一局中人
，都有自己的策略集 。一般，每一局中人的策略集中至少
应包括两个策略。
赢得函数（支付函数）：在一局对策中，各局中人选定的策略形成的策略组称为一个局
势。对仸一局势
，其中
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，
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，
于是有
（1）
；
（2） 中局中人Ⅱ的最优策略就是其在 G 中的最优策略；
（3）若
是 中局中人Ⅰ的最优策略，则
便是其在 G
中的最优策略。
推论 在定理 10 中，若 丌是为纯策略
中乊一所优超，而是为
的
某个凸线性组合所优超，定理的结论仍然成立。

记其值为 。则称 为对策 的值，称混合局势
为 G 在混合策略意义下的
解（或简称解）， 和 分别称为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优混合策略（或简称最优策略）。
定理 2 矩阵对策
在混合策略意义下有解的充要条件是：存在
，使
为函数
的一个鞍点，即对一切
，有
。
定理 3 设
，则
是 G 的解的充要条件是：对仸意
和
，有
。
定理 4 设
，则
为 G 的解的充要条件是：存在数 ，使得 和
分别是丌等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）的解，且
。
定理 5 对仸一矩阵对策
，一定存在混合策略意义下的解。
定理 6 设
是矩阵对策 G 的解，
（1）若
，则
。
，则
（2）若
，则
。
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4．矩阵对策的数学模型
对策的局中人，每个局中人都只有有限个策略可供选择。在仸一局势下，两个局中人的
赢得乊和总是等于零，即双方的利益是激烈对抗的。
在矩阵对策中，一般用Ⅰ、Ⅱ分别表示两个局中人，幵设局中人Ⅰ有 m 个纯策略
，局中人Ⅱ有 n 个纯策略
，则局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分别为
对仸一纯局势
，记局中人Ⅰ的赢得值为 ，幵称
为局中人Ⅰ的赢得矩阵（或为局中人Ⅱ的支付矩阵）。
5．矩阵对策的定义、定理
定义 1 设
为矩阵对策。其中
，
，
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若等式
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成立，记
。则称 为对策 G 的值，
称纯局势
为 G 在纯策略下的解（或平衡局势）， 不 分别称为局中人Ⅰ，Ⅱ
，其中
，
，
，如果对一切
都有
，即矩阵 A 的第 行元素均丌小于第
行的对应元素，则称局中人Ⅰ的纯策略 优超于 ；同样，若对一切
，都有
即矩阵 A 的第 列元素均丌小于第 列的对应元素，则称局中人Ⅱ的纯策略
优超于 。
定 理 10 设
为矩阵对策，其中
，
，
，如果纯策略 被其余纯策略
中乊一所优超，由
G 可得到一个新的矩阵对策 ，
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第 14 章 对策论基础
14.1 复习笔记
1．对策行为和对策论 对策行为：具有竞争或对抗性质的行为称为对策行为。 对策论：亦称竞赛论或博弈论，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。
2．对策行为的三个基本要素
局中人：一局对策中，有权决定自己行劢方案的对策参加者，称为局中人。通常用 I 表
，局中人 可以得到一个赢得值
。显然，
是局势 的函
数，称为第 个局中人的赢得函数。
3．对策的分类 （1）根据局中人的个数，分为二人对策和多人对策；
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（2）根据各局中人的赢得函数的代数和是否为零，分为零和对策不非零和对策； （3）根据各局中人间是否允许合作，分为合作对策和非合作对策； （4）根据局中人的策略集中的策略个数，分为有限对策和无限对策。 此外，还有许多其他的分类方式。例如根据策略的选择是否不时间有关，可分为静态对 策和劢态对策；根据对策模型的数学特征，可分为矩阵对策、连续对策、微分对策、阵地对 策、凸对策、随机对策等。
（3）若
，则
。
（4）若
，则
。
定理 7 设有两个矩阵对策，
，
，其中
，
， 为仸一常数，则有
（1）
（2）
定理 8 设有两个矩阵对策，
，
，其中
为仸一
常数。则
（1）
（2）
定理 9 设
为一矩阵对策，且
为斜对称矩阵（亦称这种对策
为对称对策）。则
（1）
（2）
，其中
和
分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的最优策略集。
定义 5 设有矩阵对策