专题训练
• 方案设计型问题
考点一 方程型方案设计
[例1] 某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足 球．其中篮球的单价比足球的单价多40元，用1500元购进的篮球个 数与900元购进的足球个数相等． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)该校打算用1 000元购买篮球和足球，问恰好用完1 000元，并且 篮球、足球都买的购买方案有哪几种？
ABΒιβλιοθήκη 进价(万元/套)1.5
1.2
售价(万元/套)
1.65
1.4
[分析] (1)首先设该商场计划购进 A，B 两种品牌的教学设备 分别为 x 套，y 套，根据题意即可列方程组10..51x5x＋＋1.02.2yy＝＝669， ，解 此方程组即可求得答案． (2)首先设 A 种设备购进数量减少 a 套，则 B 种设备购进数量 增加 1.5a 套，根据题意即可列不等式 1.5(20－a)＋1.2(30＋ 1.5a)≤69，解此不等式即可求得答案． [解答] (1)设该商场计划购进 A，B 两种品牌的教学设备分别 为 x 套，y 套，
经检验：x＝60 是原分式方程的解．则 x＋40＝100. 答：篮球和足球的单价分别是 100 元、60 元． (2)设恰好用完 1 000 元，可购买篮球 m 个和购买足球 n 个，由题意， 得 100m＋60n＝1 000. 整理，得 m＝10－53n. ∵m，n 都是整数，∴当 n＝5 时，m＝7；当 n＝10 时，m＝4；当 n ＝15，m＝1. ∴有三种方案：
为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培 育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵， 购买B种果树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的 函数关系． (1)求y与x的函数关系式； (2)若在购买计划中，B种果树苗的数量不超过35棵，但不少于A种 果树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费 用．
[解] (1)设该店有客房 x 间，房客 y 人． 根据题意得97（x＋x－7＝1）y，＝y， 解得xy＝ ＝86， 3. 答：该店有客房 8 间，房客 63 人． (2)若每间客房住 4 人，则 63 名客人至少需客房 16 间，需付费 20×16 ＝320(钱)； 若一次性定客房 18 间，则需付费 20×18×0.8＝288(钱)＜320 钱． 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房 18 间更合算．
[分析] (1)首先设足球的单价为x元，则篮球的单价为(x＋40)元，根据等 量关系“1 500元购进的篮球个数＝900元购进的足球个数”列出方程解出答 案即可． (2)设恰好用完1000元可购买篮球m个和购买足球n个，根据“篮球的单价 ×m＋足球的单价×n＝1000”，再求整数解即可．
[解答] (1)设足球的单价为 x 元，则篮球的单价为(x＋40)元，由题意， 得x1＋50400＝9x00，解得 x＝60，
①购买篮球 7 个，足球 5 个； ②购买篮球 4 个，足球 10 个； ③购买篮球 1 个，足球 15 个．
某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问 开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房 空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无 房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． (1)该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客 房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上 (含18间)，房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如 何订房更合算？
1．5(20－a)＋1.2(30＋1.5a)≤69， 解得 a≤10. 答：A 种设备购进数量至多减少 10 套．
考点三 函数型方案设计
[例3] 在“清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶的 方案，方案1：买分类垃圾桶，需要费用3000元，以后每月的垃圾 处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1 000元，以 后每月的垃圾处理费用500元．设方案1的购买费和每月垃圾处理费 共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共 为y2元，交费时间为x个月． (1)直接写出y1，y2与x的函数关系式； (2)如图，在同一平面直角坐标系内， 画出函数y1，y2的图象； (3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下， 哪种方案省钱？
考点二 不等式(组)型方案设计
[例2] 某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和 售价如表所示．
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛 利润9万元． (1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？ (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数 量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的 数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种 设备购进数量至多减少多少套？
[解答] (1)设该商场计划购进 A，B 两种品牌的教学设备分别为 x 套，y 套，
1.5x＋1.2y＝66，
0.15x＋0.2y＝9，
解得x＝20， y＝30.
答：该商场计划购进 A，B 两种品牌的教学设备分别为 20 套， 30 套．
(2)设 A 种设备购进数量减少 a 套，则 B 种设备购进数量增加 1.5a 套．
[分析] (1)根据总费用＝购买垃圾桶的费用＋每月的垃圾处理费用 ×月数，即可求出y1，y2的函数关系式． (2)根据一次函数的性质，运用两点法即可画出函数y1，y2的图象． (3)观察图象可知在相应的范围内哪种方案省钱．
[解答] (1)由题意，得y1＝250x＋3000，y2＝500x＋1000. (2)y1，y2的图象如图所示． (3)由图象可知：①当使用时间小于8个月时，直线y2落在直线y1的 下方，y2＜y1，即方案2省钱； ②当使用时间大于8个月时，直线y1落在直线y2的下方，y1＜y2，即 方案1省钱； ③当使用时间等于8个月时，y1＝y2，即方案1与方案2一样．