动点，点 M、N 分别是边 AB，BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是
.
(荆门市中考试题)
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解题思路：作 M 关于 AC 的对称点 M ′ ，连 MN 交 AC 于点 P，则 PM+PN 的值最 小.
D
P
A
C
M
N
B
【例 2】已知 a ， b 均为正数，且 a + b = 2 ，求 W= a2 + 4 + b2 + 1 的最小值.
(2) 进一步探究：改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长，且满足 AD＞AB，动点 P 从 A 点
出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上．若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次，则 AB：AD 的值
为
．
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专题 26
小宇同学的思路计算， d2 =
km（用含 a 的式子表示）．
探索归纳 （1）① 当 a = 4 时，比较大小： d1 _______ d2 （填“＞”、“＝”或“＜”）；
② 当 a = 6 时，比较大小： d1 _______ d2 （填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）对 a （当 a > 1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择
2.几何图形的对称
几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的
对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称 图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.
例题与求解
【例 l】如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个
A
D
O
B
C
【例 5】如图，矩形 ABCD 中，AB＝20 厘米，BC＝10 厘米，若在 AC、AB 上各取一 点 M ， N ， 使 BM ＋ MN 的 值 最 小 ， 求 这 个 最 小 值 . （北京市竞赛试题）
解题思路：要使 BM＋MN 的值最小，应该设法将折线 BM＋MN 拉直，不妨从作 出 B 点关于 AC 的对称点入手.
叠，点 B 恰好落在 AC 上，则 AC 的长是
.
(济南
市中考试题)
3. 如图，∠AOB＝ 450 ，P 是∠AOB 内一点，PO＝10，Q，P 分别是 OA、OB 上的动
点，则△PQR 周长最小值是
.
4. 比 (
6+
5)6 大的最小整数是
.
（西安交通大学少年班
入学试题）
5.如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 在 BC 上，且 BE＝2，P 在 BD 上，则 PE＋
提示：设
a2 − b2 =m 2a 1 − b2 =1+a2 − b2
，则
，
( )2
即 a- 1 − b2 =0 ，可得 a= 1 − b2 .
例 4 证明 以 AC 为对称轴，将△ADO 翻转，D 点必落在 BO 上，设为 D′ ，
则 AD′ =AD， OD′ =OD；同理，将△BCO 翻转，C 点必落在 AO 上，设为 C′ ，则
专题 26 相对相称—对称分析法
阅读与思考
当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而 从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题
所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方 面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.
方案一还是方案二？ 考试题)
(河北省中
12．如图，已知平面直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为 A（2，－3），B（4，－1） （1）若 P（ x ，0）是 x 轴上的一个动点，当△PAB 的周长最短时，求 x 的值；
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（2）若 C（ a ，0），D（ a + 3 ，0）是 x 轴上的两个动点，当四边形 ABDC 的周长最短 时，求 a 的值； （3）设 M，N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，问：是否存在这样的点 M（ m ，0）、N（0， n ），使四边形 ABMN 的周长最短？若存在，求出 m ，n 的值；若不存在，请说明理由．
y
O
x
B
A
13.在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD⊥BC 于 D，将△ABD 沿 AB 所在的直线折叠，使点 D 落在点 E 处；将△ACD 沿 AC 所在的直线折叠，使点 D 落在点 F 处，分别延长 EB、 FC 使其交于点 M． （1）判断四边形 AEMF 的形状，并给予证明； （2）若 BD＝1，CD＝2，试求四边形 AEMF 的面积．
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设该方案中管道长度为 d2 ，且 d2 = PA + PB(km) （其中点 A′ 与点 A 关于 l 对称， A′B 与
l 交于点 P ）．
A
图1
观察计算
A B
l
P
C
A
B
K
l
P
C
B
l P
图 A′ 2
图 A′ 3
（1）在方案一中， d1 =
km（用含 a 的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算 d2 的长，作了如图 13-3 所示的辅助线，请你按
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并且它一直按照这种方式不停地运动，即当 P 点碰到 BC 边，沿着 BC 边夹角为 45°的 方向作直线运动，当 P 点碰到 CD 边，再沿着与 CD 边夹角为 45°的方向作直线运动… 如图 1 所示，问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与 D 点重合时所 经过的路线的总长是多少？
对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析
方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称： 1.代数中的对称式
如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为
对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对 称式，都可以用最简单对称多项式 a + b ，ab 表示，一些对称式的代数问题，常用最简 对称式表示将问题解决.
BC′ = BC,OC′ = OC ,连接 C′D′ 、 BC′ 、 AD′ ，交于 E，则 C′D′ = CD ，
在△ABE
和△
C
′D′E
中，有
C
′E
+
D′E
&g#43; AE > AB
① + ② 得 ， BC′ + AD′ > AB + C′D′ ， 即 AD+BC>AB+CD.
例 5 作 B 关于 AC 的对称点 B′ ，连 AB′ ，则 N 关于 AC 的对称点在 AB′ 上的 N ′ ，这
相对相称答案
————对称分析法
例1 5
例2
( ) 13 提示：将 b=2-a 代入 W = a2 + 4 + b2 +1 得W = a2 + 22 + 2-a2 +12 ，
构 造 图 形 如 下 图 ， 可 得 W 的 最 小 值 为 AP + PB = AB = 22 + 32 = 13 .
例3
a 1 − b2 − b 1 − a2 =m
换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简
证．
【例 4】 如图，凸四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，且 AC⊥BD，已知 OA ＞OC，OB＞OD， 求证：BC＋AD＞AB＋CD .
（“祖冲之杯”邀 请赛试题）
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解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边 关系定理，以 AC 为对称轴，将部分图形翻折．
即 BM+MN 的最小值为 16cm。
能力训练 1．300º 2．4 3．提示：分别作点 P 关于 OB，OA 的对称点 P1，P2，连 P1P2 分别交 OB，OA 于 R， Q，则△PQR 周长=PR+RQ+PQ= P1R+RQ+ P2Q ≥ P1P2，连 OP1，OP2，则 OP1=OP2=OP=10， ∠P1OP2 = 2∠AOB = 90° ， 所以 P1P2 = 10 2 ，即△PQR 的周长的最小值为10 2
（北
京市竞赛试题）
解题思路：用代数的方法求 W 的最小值较繁， a2 + b2 的几何意义是以 a，b 为
边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出 W 的最小值.
【例 3】已知 a 1 − b2 + b 1 − a2 = 1，求证： a2 + b2 = 1
（四川
省竞赛试题）
解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、
10．13 提示：作线段 AB=12，CA⊥AB 于 A，DB⊥AB 于 B，AC=2，DB=3，在 AB 上去 AP=x，则 BP=12-x，即在 AB 上求点 P，使 PC+PD 值最小，运用对称分析法可求。
小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠，得到矩形 A1B1CD，由轴对称的知识，发现 P2P3＝P2E，P1A＝P1E．
请你参考小贝的思路解决下列问题：
(1) P 点第一次与 D 点重合前与边相碰
合时所经过的路径的总长是
cm．
次，P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重
所走的最短距离是（ ）.
A． (4 + 185) 英里
B．16 英里
C．17 英里
D．18 英里
（美国中学生竞赛试题）
A