中考数学有关圆的证明与计算题型解析
有关圆的证明与计算涉及到的主要知识点有圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、
特殊四边形的判定与性质、特殊三角形的性质、全等与相似三角形的判定与性质等．
本节主要对其相应的题型总结归纳如下：
类型一、切线的性质
【例题1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C，
过点C 作CE⊥AB，交⊙O 于点E，垂足为点D.
(1) 求证：∠PCB＝∠BAC；
(2) 过点B 作BM∥PC 交⊙O 于点M，交CD 于点N，连接AM .
①求证：CN＝BN；
②若cos P = 4/5 , CN = 5 , 求AM 的长 .
例题1图
【参考答案】
(1)证明：如解图1 所示，连接OC，交BM 于点F .
解图1
∵PC 是⊙O 的切线，
∴OC⊥PC .
∴∠PCO＝90°.
∴∠PCB＋∠BCO＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠ACO＋∠BCO＝90°.
∴∠PCB＝∠ACO.
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠BAC.
∴∠PCB＝∠BAC.
(2)
例题1图①证明：
∵BM∥PC，
∴∠CBM＝∠PCB.
∵CE⊥AB，
∴︵BC＝︵BE .
∴∠BAC＝∠BCE.
∵∠PCB＝∠BAC，
∴∠BCE＝∠PCB＝∠CBM.
∴CN＝BN.
②解：
例题1图∵BM∥PC，
∴∠MBA＝∠P.
∴cos ∠MBA＝cos P＝4/5 .
在Rt △BDN 中，
cos ∠MBA＝BD / BN＝4/5，BN＝CN＝5，∴BD＝4.
∴CD＝CN＋ND＝8.
在Rt △OCD 中，设OC＝r，
则OD＝OB－BD＝r－4.
由勾股定理，得OC2＝OD2＋CD2，
即r2＝(r－4)2＋8^2 .
解得r＝10.
∴AB＝2r＝20.
∵AB 是直径，
∴∠AMB＝90°.
在Rt △ABM 中，cos ∠MBA＝BM / AB ＝4 / 5，AB＝20，
∴BM＝16 .
类型二、切线的判定与性质综合——双切线模型
【例题2】如图，PB 与⊙O 相切于点B，过点B 作OP 的垂线BA，垂足为点C，交⊙O 于点A，
连接PA，AO，AO 的延长线交⊙O 于点E，与PB 的延长线交于点D.
(1) 求证：PA 是⊙O 的切线；
(2) 若tan ∠BAD＝2 / 3，且OC＝4，求BD 的长．
例题2图【参考答案】
解：
(1)如解图1 所示，连接OB，则OA＝OB .
解图1
∵OP⊥AB，
∴AC＝BC.
∴OP 是AB 的垂直平分线．
∴PA＝PB.
在△PAO 和△PBO 中，
∴△PAO ≌△PBO ( SSS )．
∴∠PAO＝∠PBO.
∵PB为⊙O的切线，B 为切点，
∴∠PBO＝90°.
∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA .
∴PA 是⊙O 的切线．
(2)如解图2 所示，连接BE .
解图2
在Rt △AOC 中，
tan ∠BAD＝tan ∠CAO＝OC / AC＝2 / 3，且OC＝4，∴AC＝BC = 6 .
∵PA⊥OA，OP⊥AB，
∴∠PAC＋∠OAC＝90°.
∴∠ACP＝∠OCA＝90°，∠PAC＋∠APC＝90°.
∴∠APC＝∠OAC .
∴△PAC∽△AOC.
∴PC / AC＝AC / OC，即PC / 6 ＝6 / 4 . 解得PC＝9 .
∴OP＝PC＋OC＝13 .
解图2
在Rt △PCB 中，由勾股定理得，
∵AC＝BC，OA＝OE，
∴OC 为△ABE 的中位线．
∴BE＝2OC＝8，OC∥BE
.∴△DBE∽△DPO .
∴BD / PD = BE / PO ,
类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型
【例题3】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是AC 上一点，
过B，C，D 三点的⊙O 交AB 于点E，连接ED，EC，点F 是线段AE 上的一点，连接FD，
其中∠FDE＝∠DCE .
(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；
(2) 若D 是AC 的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF 的长．
例题3图
【参考答案】
(1) 证明：如解图1 所示，连接BD.
解图1
∵∠ACB＝90°，点B，D 在⊙O上，
∴BD 是⊙O 的直径．
又∵∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE，
∴∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即∠BDF＝∠ACB＝90° . ∴DF⊥BD .
又∵BD 是⊙O 的直径，
∴DF 是⊙O 的切线．
(2) 解：
解图1
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8.
∵点D 是AC 的中点，
∴AD＝CD＝1/2 AC＝2√3 .
∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠DEB＝90°.
∴∠DEA＝180°－∠DEB＝90°.
∴DE＝1/2 AD＝1/2 ×2√3＝√3 . （∠A = 30°）
解图1
在Rt △BCD 中，
在Rt △BED 中，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE.
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE .
∴DF / BD = DE / BE , 即DF / 2√7 = √3 / 5 ,
∴DF＝2√21 / 5 .
类型四、三切线模型
【例题4】如图，AB 是⊙O 的直径，AB⊥BD，AC 与⊙O 相切于点A，点E 为⊙O 上一点，
且AC＝CE，连接CE 并延长交BD 于点D.
(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；
(2) 连接AD，BE 交于点F，⊙O 的半径为2，当点F 为AD 中点时，求BD 的长．
例题4图
【参考答案】
(1) 证明：如解图1，连接OC，OE .
解图1
∵AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切于点A，
∴∠OAC＝90°.
在△ACO 和△ECO 中，
∴△ACO ≌△ECO ( SSS )．
∴∠OEC＝∠OAC＝90°.
∴OE⊥DC.
∴CD 为⊙O 的切线．
(2) 解：如解图2 所示，连接OF，AE，过点F 作FG⊥BD 于点G .
解图2∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝∠FGD＝∠FGB＝90°.
∴FG∥AB .
∴∠ABF＝∠BFG.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB＝∠FGB＝90°.
∴△ABE∽△BFG .
∴AB / BF ＝BE / FG .
解图2∵点F 为AD 中点，O 为AB 中点，∴OF∥BG .
易证四边形OFGB 是矩形．
∴FG＝OB＝2.
∵AB 是⊙O 的直径，AB⊥BD，
∴BD 是⊙O 的切线．
由(1) 知CD 是⊙O 的切线，
∴DB＝DE.
∴∠DEB＝∠DBE.
∵∠ABD＝90°，点F 为AD 中点，
∴BF＝FD.
∴∠DBE＝∠FDB.
∴∠FDB＝∠DEB.
解图2又∵∠FBD＝∠DBE，
∴△FBD∽△DBE .
∴BF / BD＝BD / BE .
∴BD2＝BF·BE.
设BF＝a，BD＝n.
∵△ABE∽△BFG，
∴AB / BF = BE / FG , ∴4 / a = BE / 2 ,
∴BE = 8 / a ,
∵BD2＝BF·BE，
∴n2＝a ·8 / a .
∴n2＝8 .
∴n＝2√2 ( 负值舍去)．∴BD 的长为2√2 .。