与圆有关的证明与计算1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上，以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ，且DE ＝EF .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若∠B ＝30°，求CECD的值．第1题图(1)证明：如解图，连接OD ，OE ，DF ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴DF ∥BC ， ∵DE ＝EF ， ∴DE ︵＝EF ︵， ∴OE ⊥DF ， ∴OE ⊥BC ，∵OE 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线；第1题解图(2)解：∵∠B ＝30°，且OE ⊥BC ， ∴∠BOE ＝60°， ∵OE ＝OF ，∴△OEF 是等边三角形， ∴∠OEF ＝60°，又∵DE ＝EF ，OE ⊥DF ， ∴∠OED ＝∠OEF ＝60°， ∴∠CED ＝30°， ∴∠CDE ＝60°， 在Rt △CDE 中，∵tan ∠CDE ＝tan60°＝CECD＝3，∴CECD＝ 3. 2．如图，在Rt △BGF 中，∠F ＝90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BF 于点E ，交GF 于点D ，AE ⊥OD 于点C ，连接BD .(1)求证：GF 是⊙O 的切线；(2)若OC ＝2，AE ＝43，求∠DBF 的度数．第2题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又∵∠F ＝90°，∴∠AEB ＝∠F ，∴AE ∥GF ， ∵AE ⊥OD ，∴OD ⊥GF ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴GF 是⊙O 的切线； (2)解：∵OD ⊥AE ， ∴AC ＝CE ＝12AE ＝23，∵OA ＝OB ，∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝4，∴在Rt △AOC 中，OA ＝OC 2＋AC 2＝22＋（23）2＝4， ∵∠CEF ＝∠DCE ＝∠F ＝90°， ∴四边形CDFE 是矩形，∴DF ＝CE ＝23，EF ＝CD ＝OD －OC ＝4－2＝2， ∴BF ＝BE ＋EF ＝4＋2＝6， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝236＝33，∴∠DBF ＝30°.3．如图，点C 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠DAC ＝30°，∠BDC ＝12∠ABD .(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于点E 、F ，BD ＝2，求OE 、CF 的长．(1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∵∠DAC ＝30°， ∴∠ABD ＝60°， ∴∠BDC ＝12∠ABD ＝30°.∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝60°，∴∠ODC ＝∠ODB ＋∠BDC ＝90°，即OD ⊥DC ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线；第3题解图(2)解：∵OF ∥AD ，∠ADB ＝90°， ∴OF ⊥BD ，∠BOE ＝∠A ＝30°， ∵OD ＝OB ，∴DE ＝BE ＝12BD ＝1.∵在Rt △OEB 中，∠BOE ＝30°， ∴OB ＝2BE ＝2，∴OE ＝OB 2－BE 2＝22－12＝ 3.∵OD ＝OB ＝2，∠C ＝∠ABD －∠BDC ＝30°，∠DOF ＝30°， ∴CD ＝OD tan30°＝23，DF ＝OD ·tan30°＝233，∴CF ＝CD －DF ＝23－233＝433.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，点O 在AB 上，⊙O 经过B ，D 两点，交BC 于点E .(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝6，sin ∠BAC ＝23，求BE 的长．(1)证明：如解图，连接OD ，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠1＝∠2，∵OB ＝OD ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴DO ∥BC ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ADO ＝90°，即AC ⊥OD ， ∵OD 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线；第4题解图(2)解：设⊙O 的半径为R ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sin ∠BAC ＝BC AB ＝23，∵AB ＝6，∴BC ＝AB sin ∠BAC ＝6×23＝4，由(1)知，OD ∥BC ，∴△AOD ∽△ABC ，∴OD BC ＝AO AB ，∴R 4＝6－R6，解得R ＝125，如解图，过点O 作OF ⊥BC 于点F ， 则BE ＝2BF ，OF ∥AC ， ∴∠BOF ＝∠BAC ，∴sin ∠BOF ＝BF OB ＝23，∴BF ＝23×125＝85，∴BE ＝2BF ＝165.5. 如图，等腰△ACD 内接于⊙O ，其中AC ＝CD ，AB 是⊙O 的直径，连接BC ，BD ，过点C 作BD 的垂线，分别交AB 、DB 的延长线于点E 、F .(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝5，BD ＝3，求CE 的长．第5题图(1)证明：如解图，连接CO 并延长交AD 于点M ， ∵AC ＝CD ，∴AC ︵＝CD ︵，∴CM ⊥AD ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥DF ， ∴CM ∥DF ，即OC ∥DF ， ∵DF ⊥CE ， ∴OC ⊥CE ，又∵OC 是⊙O 的半径， ∴EC 是⊙O 的切线；第5题解图(2)解：∵在Rt △ABD 中，AB ＝5，BD ＝3，∴AD ＝AB 2－BD 2＝4， ∵OC ∥DF ，∴∠COE ＝∠ABD ， ∵∠ADB ＝∠OCE ＝90°， ∴△ABD ∽△EOC ， ∴AD CE ＝BD OC ，即4CE ＝352， ∴CE ＝103.6. 如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，以AC 为直径的半圆O 与BC 交于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，ED 的延长线与AC 的延长线交于点F .(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若半圆O 的半径为2，BE ＝1，求CF 的长．第6题图(1)证明：如解图，连接OD 、AD ， ∵AC 是半圆O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴AD ⊥BC . 又∵AB ＝AC ， ∴DC ＝BD . ∵OC ＝OA ，∴OD 是△ABC 的中位线，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，又∵OD为半圆O的半径，∴DE是⊙O的切线；第6题解图(2)解：∵∠ODF＝∠AEF，∠F＝∠F，∴△ODF∽△AEF，∴ODAE＝OFAF，∵OD为△CAB的中位线，∴AB＝2OD＝4，∴AE＝AB－BE＝3，∴23＝OFOF＋2，解得OF＝4，∴CF＝OF－OC＝2.7. 如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O 是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)若BD＝6，CD＝8，求⊙O的半径．第7题图(1)证明：如解图，连接OE，∵AB＝BC，D是AC中点，∴BD⊥AC，∵BE平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OE∥BD，∵BD⊥AC，∵OE 是⊙O 的半径， ∴AC 与⊙O 相切；第7题解图(2)解：在Rt △BCD 中，BD ＝6，CD ＝8， ∴BC ＝10， ∴AB ＝10. ∵OE ∥BD ，∴△AOE ∽△ABD ， ∴AO AB ＝OE BD， 设⊙O 的半径为r ，则有10－r 10＝r6，解得r ＝154，∴⊙O 的半径为154.8. 如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠A ＝30°，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E .(1)求证：DE 为⊙O 的切线； (2)若BC ＝4，求DE 的长．第8题图(1)证明：如解图，连接OD ， ∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠B ， ∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B ，∴∠ODB ＝∠A ，∴OD ∥AC ， ∴∠ODE ＝∠DEA ＝90°， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 为⊙O 的切线；第8题解图(2)解：如解图，连接CD ， ∵BC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°， ∵∠A ＝30°，AC ＝BC ＝4， ∴AD ＝AC ·cos30°＝4×32＝23，∴DE ＝12AD ＝ 3. 9. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若AE ＝42，∠CDF ＝22.5°，求劣弧AE ︵的长．第9题图(1)证明：如解图，连接AD ，OD ， ∵AB 是直径， ∴∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点， ∵O 是AB 的中点，∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ， ∴OD ⊥DF .∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；第9题解图(2)如解图，连接OE ，∵∠ADC ＝90°，∠DFC ＝90°， ∴∠DAC ＋∠C ＝90°，∠CDF ＋∠C ＝90°， ∴∠DAC ＝∠CDF ＝22.5°， ∵AB ＝AC ，D 是BC 中点， ∴∠BAC ＝2∠DAC ＝2×22.5°＝45°， ∵OA ＝OE ，∴∠OEA ＝∠BAC ＝45°， ∴∠AOE ＝90°， ∵AE ＝42， ∴OA ＝OE ＝4， ∴lAE ︵＝90π·4180＝2π.10. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过点B 、C 、D ，连接CD ，且∠B ＝∠ACD ＝45°，连接OD 交BC 于点E .(1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)求证：△BDE ∽△CAD ；(3)若∠DCB ＝30°，求CDBC的值．第10题图(1)证明：如解图，连接OC ， ∵∠ABC ＝45°，∴∠DOC ＝90°， ∵OC ＝OD ，∴△OCD 是等腰直角三角形，∴∠OCD ＝45°， 又∵∠ACD ＝45°，∴∠OCD ＋∠ACD ＝45°＋45°＝90°，即∠ACO ＝90°， ∴OC ⊥AC ，∵OC 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线；第10题解图(2)证明：由(1)知，OC ⊥AC ，∠DOC ＝90°，∴OD ∥AC ， ∴∠BDO ＝∠A ，又∵∠B ＝∠ACD ＝45°， ∴△BDE ∽△CAD ；(3)解：如解图，过点D 作DH ⊥BC 于点H ， 设⊙O 的半径为r ，则CD ＝2r ， 在Rt △CDH 中， ∵∠DCH ＝30°，∴DH ＝12CD ＝22r ，CH ＝CD ·cos30°＝2r ×32＝6r 2，在Rt △BDH 中，∵∠B ＝45°， ∴BH ＝DH ＝22r ， ∴BC ＝BH ＋CH ＝2＋62r ， ∴CD BC ＝2r 6＋22r ＝23＋1＝3－1.。