2y1-3y2+2y3≥9 y1, y2, y3≥0
根据定义写出对偶问题
max u=6w1+9w2 s.t. w1+2w2≤2
2w1- 3w2≤3 w1+2w2≤-1 w1, w2≥0
对偶问题的对偶就是原始问题。两个问题中的任一个都 可202以0/1作0/2为0 原始问题。另一个就是它的对偶问题。 8
y1 -y2 +y3 = 1
y1≥0 ,y2≤0,y3无约束
y1+y2’+(y3’-y3”) ≤ 1
-y1-y2’-(y3’-y3”) ≤-1
y1,y2’ ,y3’,y3”≥0
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maxw=5y1-4y2’+6(y3’-y3”)
s.t.-y1+2y2’
≤-2
y1 +(y3’-y3”) ≤3
-3y1-2y2’ +(y3’-y3”) ≤ -5
y1+y2’+(y3’-y3”) ≤ 1
-y1-y2’-(y3’-y3”) ≤-1
y1,y2’ ,y3’,y3”≥0
设y2=-y2’,y3=y3’-y3”,则y2≤0,y3无约束 此时对偶问题变为
maxw=5y1+4y2+6y3
s.t. y1+2y2 ≥2
y1
+y3 ≤3
-3y1+2y2+y3 ≤ -5
解：设甲资源的出让价格为y1,乙资源的出让价格为y2
minw=24y1+40y2
s.t. 3y1+4y2≥4.5
34
2y1+5y2≥5
25
y1,y2≥0
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二、对偶问题的一般形式
一般认为变量均为非负约束的情况下，约束条件在目标函 数取极大值时均取“≤”号；当目标函数求极小值时均取 “≥“号。则称这些线性规划问题具有对称性。
A1 A2 可供量 甲 3 2 24 已 4 5 40 利润 4.5 5
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解：设生产A1为x1件，生产A2为x2件，则线性规划问题为：
maxZ=4.5x1+5x2
s.t. 3x1+2x2≤2432ຫໍສະໝຸດ 4x1+5x2≤40
45
x1,x2≥0
假设现在不考虑生产产品，而是把甲乙两种原材料卖掉，则 问题变成对于甲乙两种原材料企业以多少最低价愿意出让？
x1≤0,x2,x3≥0
x2+x3+x4≥6
x2+x3+x4≤6 -x1=x1’,x1≥0;x4’-x4”=x4,x4’ ≥0,x4” ≥0
变为一般形式
minz=-2x1’+3x2-5x3+(x4’-x4”) s.t.-x1’+x2-3x3+(x4’-x4”)≥5
y1
2x1’ -2x3+(x4’-x4”)≥-4 y2’
原始问题是极小化问题 原始问题的约束全为≥ 原始问题有3个变量，2个约束 原始问题的变量全部为非负
根据定义，对偶问题为
max y=6y1+9y2
对偶问题是极大化问题
s.t. y1+2y2≤2
对偶问题的约束全为≤
2y1- 3y2≤3 y1+2y2≤-1 y1, y2≥0
对偶问题有2个变量，3个约束 原始问题的变量全部为非负
y3
x1,x2≥0
minw=4y1+14y2+y3 s.t. -y1+3y2+y3≥3 2y1+2x2-y3≥2 y1,y2,y3≥0
第一种产品 x1 第二种产品 x2
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原始问题为
min z=2x1+3x2-x3 s.t. x1+2x2+x3≥6
2x1-3x2+2x3≥9 x1, x2, x3≥0
原始问题变量的个数(3)等于对偶问题约束条件的个数(3)
原始问题约束条件的个数(2)等于对偶问题变量的个数(2)
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对偶问题的对偶
max z=6x1+9x2 s.t. x1+2x2≤2
2x1- 3x2≤3 x1+2x2≤-1 x1, x2≥0
根据定义写 出对偶问题
minw=2y1+3y2-y3 s.t. y1+2y2+y3≥6
maxZ=x1+4x2+2x3 s.t. 5x1-x2+2x3≤8 x1+3x2-3x3≤5 x1,x2,x3≥0
minw=8y1+5y2 s.t. 5y1+y2≥1 -y1+3y2≥4 2y1-3y2 ≥2 y1,y2≥0
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三、非对称形式的原—对偶问题
minz=2x1+3x2-5x3+x4 s.t. x1+x2-3x3+x4≥5 2x1 +2x3-x4≤4 x2+x3+x4=6
第二章 对偶线性规划
对偶的定义 对偶问题的性质 原始对偶关系
目标函数值之间的关系 最优解之间的互补松弛关 系
对偶单纯形法 对偶的经济解释 灵敏度分析
DUAL
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线性规划对偶问题的提出
一、对偶理论的提出
现有甲乙两种原材料生 产A1，A2两种产品，所 需的原料，甲乙两种原 料的可供量，以及生产 A1,A2两种产品可得的 单位利润见表。问如何 安排生产资源使得总利 润为最大？
max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn ≤b1
a21x1+a22x2+……+a2nxn ≤b2 ……
min w=b1y1+b2y2+……+bmym s.t. a11y1+a21y2+……+am1ym ≥c1
a12y1+a22y2+……+am2ym ≥ c2 ……
am1x1+am2x2+……+amnxn ≤bm x1, x2, ……, xn ≥0
a1ny1+a2ny2+……+amnym ≥ cn y1, y2, ……, ym ≥0
Max Z=CX s.t. AX≤b X≥0
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Minw=Y’b s.t. A’Y≥C’ Y≥0
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原始问题
max z=CX
s.t. AX≤b
X ≥0
max
C
m
A
≥b
n
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对偶问题 min w=Y’b s.t. A’Y≥C’
Y ≥0 min b
n AT ≤ C
m
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举例：
maxZ=3x1+2x2 s.t. -x1+2x2≤4 3x1+2x2≤14
第一种资源 第二种资源
y1 y2
x1-x2 ≤3 第三种资源
x2+x3 +(x4’-x4”) ≥6 y3’ -x2-x3-(x4’-x4”) ≥-6 y3”
x1’,x2,x3 ,x4’,x4” ≥0
写出对偶问题
maxw=5y1-4y2’+6(y3’-y3”)
s.t.-y1+2y2’
≤-2
y1 +(y3’-y3”) ≤3
-3y1-2y2’ +(y3’-y3”) ≤ -5