数学解题思想——整体思想
杨相云
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子、图形或概念看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。

一．整体代入
在求代数式的值时，可先将条件或待求式变形，再整体代入求值，使问题化难为易。

例1 已知a 是方程210x x +-=的一个根，求代数式22211a a a a
--+的值。

分析：由a 是方程210x x +-=的一个根，得210a a +-=，则21-a a -=，2=1a a +，再整体带入即可。

二．整体设元
在解决某些比较复杂的式子时，也可以考虑将复杂的式子整体用字母代换，使问题化繁为简，巧妙获解。

例2 阅读材料：求2320141+2+2+2...2++的值。

解：设S=2320141+2+2+2...2++，则2S=234201420152+2+22...22++++,
两式相减得 2S-S=201521-，即S=201521-；
故2320141+2+2+2...2++=201521-。

请你仿照此方法计算：
（1）23101+3+3+3...3++；
（2）231+5+5+5...5n ++（其中n 为正整数）。

分析：（1）仿照阅读材料，设S=23101+3+3+3...3++，两边乘以3后得到关系式3S=2310113+3+3...33+++,再与已知等式相减，得2S=1131-,即可求出所求式子的值；
（2）设S=231+5+5+5...5n ++，两边乘以3后得到关系式5S=2315+5+5...5+5n n +++,再与已知等式相减，得4S=151n +-,即可求出所求式子的值；
三．整体构造
就是对已知条件和所求联合研究，把问题作为一个整体来构造，从而解决问题。

例3 甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件、丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件、丙1件，共用84元。

问买甲2件，乙3件、丙4件，共需多少钱
分析：如果想先求出甲、乙、丙三种商品的单价后再去求甲2件，乙3件、丙4件共需多少钱，显然是行不通的，因为条件不够，所以应该讲问题作为一个整体来考虑。

设甲、乙、丙单价分别为x 元、y 元、z 元，则45269(1)
5684(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
， （1）×3-（2）×2得2x+3y+4z=39即可。

四．整体配凑（化零为整）
在解决某些整体问题时，有时无法从各组成部分去分别突破，这时需要考虑将其组成部分化零为整，从而使问题获得解决。

例3 如图，△ABC 中，AB=AC=8，O 为△ABC 的内心，过点O 作BC 的平
行线分别交AB 、AC 于点D 、E ，则△ADE 的周长为多少
分析：连接BO 、CO,由O 为△ABC 的内心，可得BO 平分∠ABC,得到∠DBO=
∠OBC,由DE ∥BC,得到∠DOB=∠OBC,从而∠DBO=∠DOB,于是DO=BD,同理可得OE=CE,即△ADE 的周长=AD+DO+OE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC=16.
五．整体处理
在解决某些问题时，可以把某些东西看成一个整体，从整体角度去分析，这样要比从其他角度去分析方便许多。

例4 甲、乙两人从相距20千米的两地同时出发，相向而行，甲的速度为6千米/时，乙的速度为4千米/时。

一只小狗与甲同时出发向乙奔去，遇到乙后立即掉头向甲跑去，遇到甲后又立即掉过头迎乙......直到两人相遇为止。

若小狗的速度是13千米/时，在这奔跑过程中，小狗的总行程是多少千米
分析：我们可以有以下几种思路：（1）逐段计算小狗奔跑的路程；（2）逐段计算小狗奔跑的时间；（3）从题目分析来看，小狗来回奔跑的时间之和，恰等于甲、乙二人从出发到相遇的所需的时间，故小狗奔跑的总时间为2小时，从而轻而易举地得到小狗奔跑的总路程为13×2=26（千米）。

练习：
1. 已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于=______________.
2.计算：111111-----23456（）111111++234567++（+）-1111111------234567（）111++23456
++（） =___________.
3. 如图,⊙O 的半径为2,C 1是函数y=21x 2的图象,C 2是函数y= -2
1x 2的图象, 则阴影部分的面积是
4. 7张如图1的长为a ，宽为b （a>b ）的小长方形纸片，按图2的方式
不重叠地放在矩形 ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，
设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按
照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足（ ）
A. 52a b = =3b C. 72
a b = =4b 5. 如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别
交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为 ____________.
6.已知，AO 是△ABC 的∠A 的平分线，BD ⊥AO 交AO 的延长线于D ，点E 是B
C 的中点，求证：1=)2
DE AB AC -（
7.在一条公路旁，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库，1号仓库有10
吨货物，2号仓库有20吨货物，5号仓库存有40吨货物，其它两个仓库空着。

现在想把所C 1
C 2
0 y x
有的货物集中存放在一个仓库，如果每吨货物运输一千米需要元的运费，那么运费最少要多少元。