蒙特卡罗模拟与欧式期权定价
蒙特卡罗模拟进行期权定价的核心在于生成股票价格的随机过程。

9.2节中，在期权到期的T 时刻，标的股票价格的随机方程为：
)ex p()ex p(T T T T S Y S S εσμ+== 其中，随机变量ε服从标准正态分布，即服从N(0,1)，随机变量T Y 服从正态分布，其均值
为
T T )5.0(2σμμ-=，方差为T T σσ=，μ为股票的收益率，σ为股票的波动率。

期权的收益依赖于T S 在风险中性世界里的期望值，因此对于风险中性定价，股票的收益率（μ）可以用无风险利率r 减去连续红利收益率q 代替，也就是（r-q ）。

于是风险中性定价的T S 随机方程为：
])5.0ex p[(2T T q r S S T εσσ+--=
其中ε服从标准正态分布。

上式中的股价运动过程与前面二叉树定价中的一样。

蒙特卡罗模拟随机产生一组股价终值T S 的样本值，即模拟试验。

然后为每一个样本值计算期权收益并记录下来。

产生足够多的样本值后，就可以得到期权收益的分布，通常需要计算分布的均值和标准差。

模拟试验的代数平均值常用来估计期权收益分布的期望值，然后用无风险利率对其折现来得到看涨期权的价格。

图1中欧式期权的有效期是六个月，其标的资产是连续红利收益率为3%的股票。

表中有36个期权收益的模拟试验，用它们可以估计出期权收益期望值的折现。

Using Monte Carlo Simulation to Value BS Call Option ：
利用蒙特卡罗模拟来为布莱克-舒尔斯看涨期权定价
图1 期权信息及5个（从36个模拟数据得到）期权收益模拟结果
每个模拟试验产生一个终值股价（T S 的一个样本值）和一个期权收益值。

在B 列中用Excel 的RAND 函数来产生服从均匀分布的随机数，然后在C 列用标准正态分布函数NORMSINV 将其转换成随机样本。

RAND 函数产生[0,1]间服从均匀分布的随机数。

将其作为累积概率值（值在0到1之间），用NORMSINV 即可得到服从标准正态分布的随机变量值，其结果大部分处在-3与3之间。

例如，第一次模拟试验C22中的公式为：
=NORMSINV(B22)
其输入值为0.1032(大约10％)，产生的标准正态变量的值则为-1.2634。

得到随机样本值（ε），就可以用下面公式计算期权到期日的股票价格：
])5.0ex p[(2T T q r S S T εσσ+--=
为了将其转换为单元格公式的形式，有必要先计算出T 时刻的风险中性漂移项和波动率，
也就是T q r )5.0(2σ--和T εσ（分别处于B16和B17中）。

因此，E22中的公式为： =$B$4*EXP($B$16+C22*$B$17)
相应的期权收益为（H22）：
=MAX($E$4*(E22-$B$5),0)
E4中存放的是参数iopt ，它用来区分看涨期权和看跌期权。

计算模拟出的36个期权收益的平均值，然后折现即可得到看涨期权价值的估计量（E9）。

用于折现的风险中性因子（exp(-rT)）放在B18中。

图1显示，期权价格的蒙特卡罗估计值（12.85）与布莱克-舒尔斯期权价格有较大的差异。

E10中，期权价值估计值的标准差（模拟期权收益的标准差除以模拟次数的平方
根）相对较大（这就是蒙特卡罗估计值与布莱克-舒尔斯期权价格有较大差异的原因）。

为了提高蒙特卡罗估计的准确度，有必要增加模拟试验的次数。

在Excel中按下F9，就可以产生另外36个模拟值，并得到一个不同的蒙特卡罗期权价格以及相应的估值标准差。

对于看跌期权，单元格公式同样适用。

将参数iopt（E4中）改为-1，就可以计算看跌期权的蒙特卡罗估计值，可将它与布莱克-舒尔斯期权价格作比较。