1,0 x 1 f ( x) 0, 其他

0, x 0 分布函数为： F ( x ) x ,0 x 1 1, x 1
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2013年9月2日
随机数的定义及其性质
由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位置， 我们用专门的符号ξ表示。由随机数序列的定义可知， ξ1，ξ2，…是相互独立且具有相同单位均匀分布的随机 数序列。也就是说，独立性、均匀性是随机数必备的两 个特点。 随机数具有非常重要的性质：对于任意自然数s， 由s个随机数组成的s维空间上的点（ξn+1，ξn+2，…ξn+s） 在s维空间的单位立方体Gs上均匀分布，即对任意的ai， 0≤ai≤1，i=1,2,…,s 如下等式成立：
P( n 1 ai ) ai
i 1
2013年9月2日
s
i 1,..., s
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随机数的定义及其性质
其中P(M)表示事件M发生的概率。反之，如果 随机变量序列ξ1, ξ2…对于任意自然数s，由s个 元素所组成的s维空间上的点（ξn+1，…ξn+s） 在Gs上均匀分布，则它们是随机数序列。 由于随机数在蒙特卡罗方法中所处的特殊地位， 它们虽然也属于由具有已知分布的总体中产生 简单子样的问题，但就产生方法而言，却有着 本质上的差别。
福克斯（Fox） 投计次数：1120次 pi的实验值：3.1419
斯密思（Smith） 投计次数：3204次 pi的实验值：3.1553
2013年9月2日 大连大学数学建模工作室
Monte Carlo方法的发展历史

20世纪四十年代，由于电子计算机的出现，利用电子计算机可以实 现大量的随机抽样的试验，使得用随机试验方法解决实际问题才有 了可能。其中作为当时的代表性工作便是在第二次世界大战期间， 为解决原子弹研制工作中，裂变物质的中子随机扩散问题，美国数 学家冯.诺伊曼和乌拉姆等提出蒙特卡罗模拟方法.由于当时工作是保 密的，就给这种方法起了一个代号叫蒙特卡罗，即摩纳哥的一个赌 城的名字。用赌城的名字作为随机模拟的名称，既反映了该方法的 部分内涵，又易记忆，因而很快就得到人们的普遍接受。
Matlab中生成随机数的函数

exprnd 指数分布的随机数生成器 geornd 几何分布的随机数生成器 poissrnd 泊松分布的随机数生成器 unidrnd 离散均匀分布的随机数生成器 unifrnd 连续均匀分布的随机数生成器 betarnd 贝塔分布的随机数生成器 binornd 二项分布的随机数生成器
2013年9月2日
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例.蒲丰氏问题
设针投到地面上的位置可以用一组参数 （x,θ）来描述,x为针中心的坐标,θ为针 与平行线的夹角,如图所示。 任意投针，就是意味着x与θ都是任意取 的，x的范围限于［0，a/2］，夹角θ的 范围限于［0，π］。

2013年9月2日
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2013年9月2日
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Monte Carlo方法的基本思想
蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概 率统计理论为基础的一种方法。 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个事件 的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是 与概率、数学期望有关的量时。通过某种试验的方 法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡洛方法的基本思想。
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2013年9月2日
其它函数
2013年9月2日
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蒙特卡洛方法的实例讲解
计算圆周率 在平面上画一个半径r的圆和边 长为2r的正方形，让他们的中心 重合。随机的向正方形内投点N 次，观察投在圆内的点的数目m。 计算点投在圆内的概率。
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A aP bL cQ d
2 1 2
N 抽取P,L,Q一组 随机数，代入 模型
收集P,L,Q数据，确定分布函数 f(P),f(L),f(Q)
N
模拟次数N；根据分布函数， 产生随机数
N
建立对随机变量的抽样方 法，产生随机数 产生N个A值 统计分析，估计均 值，标准差
2013年9月2日
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受几何条件限制小
在计算s维空间中的任 一区域Ds上的积分，无 论区域Ds的形状多么特 殊，只要能给出描述Ds 的几何特征的条件，就 可以从Ds中均匀产生N 个点
随机数的定义及其性质
随机数的定义 用Monte Carlo方法模拟某过程时，需要产生各种概率分布的随机 变量。最简单、最基本、最重要的随机变量是在［0，1］上均匀分 布的随机变量。由该分布抽取的简单子样称为随机数序列，其中每 一个体称为随机数。随机数属于一种特殊的由已知分布的随机抽样 问题。随机数是随机抽样的基本工具。 ［0，1］上均匀分布（单位均匀分布），其分布密度函数为：
2013年9月2日
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物理方法
基本原理：利用某些物理现象，在计算机上增 加些特殊设备，可以在计算机上直接产生随机 数。 缺点：无法重复实现 费用昂贵
2013年9月2日
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计算机产生随机数
由于在计算机上产生随机数最实用、最常见的 方法是数学法，即采用递推的公式产生随机数。 但随之也带来问题： 1，不满足相互独立的要求 2，不可避免的出现重复问题 因此，我们将计算机产生的随机数称为伪随机数
2013年9月2日
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Monte Carlo方法的基本思想
蒙特卡罗方法又称计算机随机模拟方法。它是以概 率统计理论为基础的一种方法。 由蒲丰实验可以知道，当所求问题的解是某个事件 的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是 与概率、数学期望有关的量时。通过某种试验的方 法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干 个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 这就是蒙特卡洛方法的基本思想。
2013年9月2日
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蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
1. 2. 3.
缺点 收敛速度慢。 误差具有概率性。 进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的。
2013年9月2日
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能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实 验过程
从这个意义上讲，蒙特 卡罗方法可以部分代替 物理实验，甚至可以得 到物理实验难以得到的 结果。用蒙特卡罗方法 解决实际问题，可以直 接从实际问题本身出发， 而不从方程或数学表达 式出发。它有直观、形 象的特点。
N个样本值 统计分析，估计均 值，标准差
2013年9月2日
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Monte Carlo方法的框图实例
某投资项目每年所得盈利额A由投资额P、 劳动生产率L、和原料及能源价格Q三个因 素。
1 2
A aP bL cQ d
2
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Monte Carlo方法的思想框图实例
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蒲丰投针问题
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蒙特卡洛与21点
大多数赌场使用6副牌或8副牌玩这种游戏，以 防止“数牌点”，在你的模拟中使用两副牌(共 104张)。只有2位参与者，你和庄家。游戏开始 时每人得到两张牌，对于牌面为2~10的牌，点 数和面数相同；对于为人脸(J、Q、K)的牌， 点数为10；牌面为A的牌，点数为1或者11.游 戏的目的是得到总数尽量接近21点的牌，不得 超过(超过称“爆了”)，并使你得到的总点数 多于庄家。
1 sind g的面积 2 0 2l P a G的面积 a 2
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Monte Carlo方法的发展历史
历史上的实验
1850 1894
1901
沃尔弗（Wolf） 投计次数：5000次 pi的实验值：3.1596 1855
拉查里尼（Lazzarini） 投计次数：3408次 pi的实验值：3.141592
蒙特卡洛模拟方法
主讲人：李彬
大连大学数学建模工作室 2013年9月2日
蒙特卡洛模拟方法
1
2 3
蒙特卡罗方法概述
蒙特卡洛方法思想框图
相关案例分析及其软件操作
4
蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
2013年9月2日
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Monte Carlo方法的发展历史
早在17世纪，人们就知道用事件发生的 “频率”来决定事件的“概率”。从方法特 征的角度来说可以一直追溯到18世纪后半 叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验，即著 名的蒲丰问题。
2013年9月2日
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与蒙特卡洛相关的赛题
2010年全国赛A题
2013年9月2日
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蒙特卡洛的优缺点及其适用范围
优点 1. 能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特 点及物理实验过程。 2. 受几何条件限制小。 3. 收敛速度与问题的维数无关。 4. 误差容易确定。 5. 程序结构简单，易于实现。
2013年9月2日
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产生伪随机数的方法

乘同余方法 乘加同余方法 取中方法 加同余方法
2013年9月2日
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Matlab中生成随机数的函数
2013年9月2日
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2013年9月2日
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