2) 若 ek 不在 Ck 中，令 Gk-1=Gk-ek, Ck-1=Ck; 否则转 3);
பைடு நூலகம்
6
3) 设 ek=u0v0 ∈Ck, 令 Gk-1=Gk-ek; 求 Ck 中两个相邻点 u 与 v 使得 u0,v0,u,v 依序 排列在 Ck 上，且有：uu0,vv0 ∈E(Gk-1),令：
Ck1 Ck u0v0,uvuu0,vv0
电子科技大学-图论第二次 作业-杨春
-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
习题四：
3.（1）画一个有 Euler 闭迹和 Hamilton 圈的图； （2）画一个有 Euler 闭迹但没有 Hamilton 圈的图； （3）画一个有 Hamilton 圈但没有 Euler 闭迹的图；
1)(m
2)
(m
1)(n
2m
1)
n
1
2
1.
这与条件矛盾！所以 G 是 H 图。
8.证明：若 G 有
个奇点，则存在 条边不重的迹 .
,使得
证明：不失一般性，只就 G 是连通图进行证明。设 G=(n, m)是连通图。令 vl， v2，…,vk,vk+1,…,v2k 是 G 的所有奇度点。在 vi 与 vi+k 间连新边 ei 得图 G*（1≦i ≦k).则 G*是欧拉图，因此，由 Fleury 算法得欧拉环游 C.在 C 中删去 ei （1≦i ≦k).得 k 条边不重的迹 Qi （1≦i≦k):
4.设 n 阶无向简单图 G 有 m 条边，证明:若 证明: G 是 H 图。
,则 是
图。
若不然，因为 G 是无向简单图，则 ,由定理 1：若 G 是 的非单图，则
G 度弱于某个 .于是有：
2
E(G)
E(Cm,n )
1 2
m2
(n 2m)(n m 1) m(m 1)
n
1
2
1
1 2
(m
(C S) S
所以，有：(G S) (C S) S ,则必然有：
.
12. 设 G 是度序列为(d1,d2,…,dn)的非平凡单图，且 d1≦d2≦…≦dn。证明：若 G
不存在小于(n+1)/2 的正整数 m，使得：dm<m 且 dn-m+1<n-m,则 G 有 H 路。
证明：在 G 之外加上一个新点 v,把它和 G 的其余各点连接得图 G1
≦(n-1)-r < n-r， 这样与 u0，v0 在 Gk 中度和大于等于 n 矛盾！
上面结论表明：可以从 Ck+1 中去掉 由此，我们设计算法如下：
而得到新的 H 圈，实现 H 圈的边交换。
1)在闭包构造中，将加入的边依加入次序记为 ei (1≦i≦N),这里，N=n(n-1)/2-
m(G).在 GN 中任意取出一个 H 圈 CN,令 k=N;
G1 的度序列为： (d1+1,d2+1,…,dn+1, n) ，由条件：不存在小于(n+1)/2 的正整数 m,使得 dm+1≦m,且 dn-m+1+1<n-m+1=(n+1)-m。于是由度序列判定定理知：G1 是 H 图，得 G 有 H 路。
15. 写出下列问题的一个好算法： (1) 构作一个图的闭包； (2) 若某图的闭包是完全图，求该图的 H 圈。
图，则 是非 Hamilton 图
3
(2)因为 是具有二分类 的偶图，又因为
，在这里假设
,则
有
,也就是说：对于
的非空顶点集 ，有：
成立，则可以得出则 是非 Hamilton 图。
11.证明：若 有 Hamilton 路，则对于 V 的每个真子集 S，有
.
证明：G 是 H 图，设 C 是 G 的 H 圈。则对 V(G)的任意非空子集 S, 容易知道:
10.证明：若：
E(G) E(Q1) E(Q2 )
E(Qk )
（1） 不是二连通图，或者
（2） 是具有二分类 的偶图，这里
,
则 是非 Hamilton 图。
证明：（1） 不是二连通图，则 不连通或者存在割点 ,有
,由于课
本上的相关定理：若 是 Hamilton 图，则对于
的任意非空顶点集 ，有：
,则该定理的逆否命题也成立，所以可以得出：若 不是二连通
3) 如果
dGk (u0 ) dGk (v0 ) n 则转 4);否则，停止，
此时得到 G 的闭包；
4) 令
,
,转 2).
复杂性分析：在第 k 次循环里，找到点 u0 与 v0，要做如下运算: (a) 找出所
有不邻接点对----需要 n(n-1)/2 次比较运算；(b) 计算不邻接点对度和----需要做
该方法是基于如下一个事实：
在闭包算法中，
, 与 在 中不邻接，且度和大于等于 n.
如果在 中有 H 圈 如下：
5
Ck1 (u0 , v0 , v1,..., vn2 , u0 )
我们有如下断言： 在Ck1上，vi , vi1, 使得u0vi , v0vi1 E(Gk )
若不然，设
那么在 Gk 中，至少有 r 个顶点与 v0 不邻接，则
（4）画一个即没有 Hamilton 圈也没有 Euler 闭迹的图； 解：找到的图如下： (1) 一个有 Euler 闭迹和 Hamilton 圈的图；
(2) 一个有 Euler 闭迹但没有 Hamilton 圈的图；
(3) 一个有 Hamilton 圈但没有 Euler 闭迹的图;
(4)一个即没有 Hamilton 圈也没有 Euler 闭迹的图.
4
解：(1) 构作一个图的闭包： 根据图的闭包定义，构作一个图的闭包，可以通过不断在度和大于等于 n 的非 邻接顶点对间添边得到。据此设计算法如下：
图的闭包算法： 1) 令 =G ,k=0; 2) 在 中求顶点 与 ,使得：
dGk (u0 ) dGk (v0 ) max dGk (u) dGk (v) uv E(Gk )
n(n-1)/2-m(G)次加法运算;(c ),选出度和最大的不邻接点对----需要 n(n-1)/2-m(G)
次比较运算。所以，总运算量为：
1 2
n(n
1)
2
1 2
n(n
1)
m(G
)
O(n
2
)
所以，上面的闭包算法是好算法。
(2) 若某图的闭包是完全图，求该图的 H 圈。
方法：采用边交换技术把闭包中的一个 H 圈逐步转化为 G 的一个 H 圈。
4) 若 k=1,转 5)；否则，令 k=k-1,转 2); 5) 停止。C0 为 G 的 H 圈。 复杂性分析： 一共进行 N 次循环，每次循环运算量主要在 3),找满足要求的邻接顶点 u 与 v, 至多 n-3 次判断。所以总运算量：N(n-3),属于好算法。