D
f (r cos ,r sin )rdrd
D
o

( )
d f (r cos ,r sin )rdr.

0
r ( )
A
极点在区域 D 的边界 上
CH21-重积分
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征（三）如图
0 2,
r ( )
D
0 r ( ).
f (r cos ,r sin )rdrd
o
A
D 2
( )
极点在区域D内部
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
CH21-重积分
思考: 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,
试问 的变化范围是什么?
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
sin( x2 y2 ) dxdy
D
x2 y2
D 4D1
0
2
D1
4 sin( x2 y2 ) dxdy 1 r 2
D1
x2 y2

4

2 d
0
2 sin r 1r
rdr

4.
印象
考研—填空题
2
o
2a
y
D
2a cos
4 2 d
4a2 r 2 rdr
0
0
x
32 a 3

2 (1 sin3 )d
3
0

32 a3(

2 )
3 23
小结
二重积分在极坐标下的计算公式
CH21-重积分
f (r cos ,r sin )rdrd
D


d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
例3
计算
(x2

y2 )dxdy，其
D
CH21-重积分
为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x 0

2


3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y

0
1


CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：
(1) 将 x r cos , y r sin 代入被积函数.
(2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键
(3) 将面积元dxdy换为rdrdθ.
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的 二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
1
小结
如果积分区域D为圆、
CH21-重积分
半圆、圆环、扇形域等，或被积函数
f (x2+y2) 形式，利用极坐标常能简化计算.
通常出现下面两类问题：
1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分，
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分
解题步骤：
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下 的二重积分，需依下列步骤进行：
r 2()
A
极点在积分区域外

o

A
f (r cos ,r sin )rdrd
D


d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.

1 ( )
CH21-重积分
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征（二）如图
,
0 r ( ).
直线方程为r
1
,
x y1
sin cos
f ( x, y)dxdy
D


2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
0
sin cos
CH21-重积分
练习 化二重积分 f (x, y)d .为极坐标下的二次积分.
D
(1)D : a2 x2 y2 b2
z y
S
x y
Dxy
x
CH21-重积分
例5 求球体x2 y2 z2 4a2被圆柱面x2 y2 2ax(a 0)
所截得的（含在圆柱面内的部分）立体z 的体积.
252-4
解 由对称性 体积微元
V 4 4a2 x2 y2 dxdy
y
D
其 中D为 半 圆 周
y 2ax x2 及x轴
(1) y r ( )
D
ox
答: (1) 0 ;
(2) y r ( )
D
o
x
(2)
2
2
CH21-重积分
例 题 分 析
例 1 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
其中积分区域为D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
知识点回顾
CH21-重积分
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
(1)直角坐标下累次积分的计算公式
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. ［X－型］
D
a
1( x)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx. ［Y－型］
6
x2 y2 2 y r 2sinபைடு நூலகம்
( x2 y2 )dxdy

3 d
4sin r 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
CH21-重积分
例 4 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
利用极坐标计算二重积分---249页
主要内容 极坐标系下的面积元素的确定
二重积分转化为极坐标形式表达式
极坐标系下的二重积分化为累次积分
本节重点 极坐标系下二重积分的 ----计算方法
本节关键
如 极
何 坐
将二 标形
重 式
积分 累次
化 积
为
分
确定积分限是关
键
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
函
数
x r cos

y

r
sin
rdrd x2 y2 r 2
f (r cos , r sin )
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积
函数含 ( x2 y2 )的用此简便.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
伯努利双曲线
CH21-重积分
由r

a r
2cos a
2
,
得交点 A (a, ), 6
所求面积 dxdy

f
(x,
y)dxdy

2
D1
f
( x,
y)dxdy,
f关于D上关于x为偶函数
D
0 f在D上关于x为奇函数

f
( x,
y)dxdy

4
D1
f
( x,
y)dxdy,
f关于 x 且关于 y为偶函数
D
0 f关于 x 且关于 y为奇函数
知识点回顾
CH21-重积分
(4) 应用问题
i
ri ri i ,
r dr d o
面积元素 d rdrd
D
i
利用扇形的 A
面积公式
极坐标系下区域的面积 rdrd . D
2. 二重积分转化为极坐标形式的表达式
CH21-重积分
关键
Dr
f ( x, y)dxdy.
D
化
被
积
CH21-重积分
例 例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
题
D
分 式，其中积分区域
析 D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下

x y

r r
cos sin
x2 y2 1
所以圆方程为 r 1,
D
4 dxdy
D1
4

6 d
a
2 cos 2
rdr
0
a
a2 ( 3 ). 3
CH21-重积分
例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内 部的那部分面积.
解：A=4A1
z
S : z a2 x2 y2
Dxy: x2+y2≤ax, y≥0.
CH21-重积分
休息一会儿
CH21-重积分
如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 或被积函数 f (x2+y2) 形式， 利用极坐标常能简化计算.
通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分，