代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 已知二次函数y ＝a (x －m )2－a (x －m )（a 、m 为常数，且a ≠0）．（1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．思路点拨1．第（1）题判断抛物线与x 轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x 轴的交点A 、B 的坐标分别为 (m ,0)、 (m ＋1,0)，AB ＝1．2．当△ABC 的面积等于1时，点C 到x 轴的距离为2．3．当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，C 、D 到x 轴的距离相等． 4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．满分解答（1）由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a (x －m )( x －m －1)， 得抛物线与x 轴的交点坐标为A (m ,0)、B (m ＋1,0)．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．（2）①由y ＝a (x －m )2－a (x －m ) 211()24a x m a =---， 得抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-． 因为AB ＝1，S △ABC ＝11124AB a ⨯-=，所以a ＝±8． ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，点C 与点D 到x 轴的距离相等． 第一种情况：如图1，C 、D 重合，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a -， 将1(0,)4D a -代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a -=+-． 解得12m =-．图1第二种情况：如图2，图3，C 、D 在x 轴两侧，此时点D 的坐标可以表示为1(0,)4a ， 将1(0,)4D a 代入211()24y a x m a =---，得2111()424a a m a =+-． 解得122m -±=．图2 图3考点伸展第（1）题也可以这样说理： 由于由211()24y a x m a =---，抛物线的顶点坐标为11(,)24C m a +-． 当a ＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x 轴下方，所以抛物线与x 轴由两个交点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x 轴上方，所以抛物线与x 轴由两个交点． 因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点． 第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：由y ＝a (x －m )2－a (x －m )＝a [x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ]， 得2222[(21)4()]a m m m a ∆=+-+=＞0．因此不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．例 2 已知抛物线y＝－(x－a n)2＋a n（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜a n）与x轴的交点为A n－1(b n－1,0)和nA n(b n,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；依此类推第n条抛物线y n的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；（3）探究下列结论：①若用A n－1 A n表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出A n－1 A n；②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．备用图（仅供草稿使用）思路点拨1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．满分解答（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．所以符合题意的a1＝1．此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．所以符合题意的a2＝4．此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；第n条抛物线y n的顶点坐标为(n2，n2)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．（3）①如图1，A0A1＝2．由第（2）题得到，第n条抛物线y n＝－(x－a n)2＋a n的顶点坐标为(n2，n2)．所以y n＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为A n－1(n2－n,0)和A n(n2＋n,0)．所以A n－1 A n＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．图1考点伸展我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用．第一步，由y n＝－(x－a n)2＋a n，得抛物线的顶点坐标为(a n, a n)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知a n＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点．第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像经过点P (0, 1)与Q (2, －3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A 是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A 作x 轴的平行线交二次函数图像于点B ，分别过点B 、A 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，且所得四边形ABCD 恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结P A 、PD ，PD 交AB 于点E ，求证：△P AD ∽△PEA ．思路点拨1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A 的坐标，用点A 的坐标表示AD 、AB 的长，当四边形ABCD 是正方形时，AD ＝AB ．2．通过计算∠P AE 与∠DPO 的正切值，得到∠P AE ＝∠DPO ＝∠PDA ，从而证明△P AD ∽△PEA ．满分解答（1）将点P (0, 1)、Q (2, －3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,421 3.c b =⎧⎨-++=-⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=⎩ 所以该二次函数的解析式为y ＝－x 2＋1．（2）①如图1，设点A 的坐标为(x , －x 2＋1)，当四边形ABCD 恰为正方形时，AD ＝AB ． 此时y A ＝2x A ．解方程－x 2＋1＝2x ，得12x =-±． 所以点A 的横坐标为21-． 因此正方形ABCD 的面积等于2[2(21)]1282-=-．②设OP 与AB 交于点F ，那么212(21)322(21)PF OP OF =-=--=-=-．所以2(21)tan 2121PF PAE AF -∠===--．又因为tan tan 21ODPDA DPO OP∠=∠==-， 所以∠P AE ＝∠PDA ．又因为∠P 公用，所以△P AD ∽△PEA ．图1 图2考点伸展事实上，对于矩形ABCD，总有结论△P AD∽△PEA．证明如下：如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．所以2tanPF xPAE xAF x∠===．又因为tan tan ODPDA DPO xOP∠=∠==，所以∠P AE＝∠PDA．因此△P AD∽△PEA．例2 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．①AF＝AG＝12AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．（2）数学思考：在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；（3）类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．图1思路点拨1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线．3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？满分解答（1）填写序号①②③④．（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．所以12MF AC=，12MG AB=，MF//AC，MG//AB．所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以12EG AC=，12DF AB=．所以MF＝EG，DF＝NG．所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．（3）△MDE是等腰直角三角形．图4 图5考点伸展第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．。