《数学》必会基础题型——《平面向量》【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。

记作：AB 或a 。

2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。

3.单位向量：长度为1的向量。

若e 是单位向量，则||1e =。

4.零向量：长度为0的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。

AB BA =-。

8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。

10.共线定理：//a b a b λ=⇔。

当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||a ba b θ⋅=⋅14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。

（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。

（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。

（8）若ma mb =，则a b =。

（9）若ma na =，则m n =。

（10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。

（11）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。

（12）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。

题型2.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += 。

2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= 。

3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 。

4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB = ，AD = 。

5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB =,则AC = BC ，AB = BC 。

题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()a b a b +-+= （2）2(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则132a b -= 。

题型4.作图法球向量的和已知向量,a b ，如下图，请做出向量132a b +和322a b -。

ab 题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，表示AD 。

2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和。

题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB =，(2,3)A ，则点B 的坐标是 。

2.已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 。

3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 。

4.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -。

5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值。

6.已知(2,3)AB =，(,)BC m n =，(1,4)CD =-，则DA = 。

7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标。

题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.1212e e e e +-和B.1221326e e e e --和4C.122133e e e e +-和D.221e e e -和2.已知(3,4)a =，能与a 构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55-- D.4(1,)3-- 题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =，150xOA ∠=，求OA 的坐标。

2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||43OA =60xOA ∠=，求OA 的坐标。

题型9.求数量积1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ⋅，（2）()a a b ⋅+，（3）1()2a b b -⋅，（4）(2)(3)a b a b -⋅+。

2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（2）a b ⋅，（3）(2)a a b ⋅+，（4）(2)(3)a b a b -⋅+。

题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b ==，12a b ⋅=，求a 与b 的夹角。

2.已知(3,1),(23,2)a b ==-，求a 与b 的夹角。

3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC ∠。

题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）||a b +，（2）|23|a b -。

2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（5）||a b +，（6）1||2a b -。

3.已知||1||2a b ==，，|32|3a b -=，求|3|a b +。

题型12.求单位向量 【与a 平行的单位向量：||ae a =±】1.与(12,5)a =平行的单位向量是 。

2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 。

题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a =，(3,)b m =-，当m 为何值时，（1）//a b ？（2）a b ⊥？2.已知(1,2)a =，(3,2)b =-，（1）k 为何值时，向量ka b +与3a b -垂直？ （2）k 为何值时，向量ka b +与3a b -平行？3.已知a 是非零向量，a b a c ⋅=⋅，且b c ≠，求证：()a b c ⊥-。

题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A -，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线。

2.设2(5),28,3()2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，求证：A B D 、、三点共线。

3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是 。

4.已知(1,3)A -，(8,1)B -，若点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值。

5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B -，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC +=成立？题型15.判断多边形的形状1.若3AB e =，5CD e =-，且||||AD BC =,则四边形的形状是 。

2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形。

3.已知(2,1)A -，(6,3)B -，(0,5)C ，求证：ABC ∆是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a =，(2,1)b =，当k 为何值时，向量ka b -与3a b +平行？2.已知(3,5)a =，且a b ⊥，||2b =，求b 的坐标。

3.已知a b 与同向，(1,2)b =，则10a b ⋅=，求a 的坐标。

3.已知(1,2)a =，(3,1)b =，(5,4)c =，则c = a + b 。

4.已知(5,10)a =，(3,4)b =--，(5,0)c =，请将用向量,a b 表示向量c 。

5.已知(,3)a m =，(2,1)b =-，（1）若a 与b 的夹角为钝角，求m 的范围；（2）若a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围。

6.已知(6,2)a =，(3,)b m =-，当m 为何值时，（1）a 与b 的夹角为钝角？（2）a 与b 的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A -，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC ，2AB CD =，求点C 的坐标。

8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B -，(3,4)C ，求第四个顶点D 的坐标。

9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度。

10.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ，（1）若0AB AC ⋅=，求c 的值；（2）若5c =，求sin A 的值。

【备用】1.已知||3,||4,||5a b a b ==+=，求||a b -和向量,a b 的夹角。

2.已知x a b =+，2y a b =+，且||||1a b ==，a b ⊥，求,x y 的夹角的余弦。

1.已知(1,3),(2,1)a b ==--，则(32)(25)a b a b +⋅-= 65 。

4.已知两向量(3,4),(2,1)a b ==-，求当a xb a b +-与垂直时的x 的值。

5.已知两向量(1,3),(2,)a b λ==，a b 与的夹角θ为锐角，求λ的范围。

变式：若(,2),(3,5)a b λ==-，a b 与的夹角θ为钝角，求λ的取值范围。

选择、填空题的特殊方法：1.特例法例：《全品》P27：4。

因为M,N 在AB,AC 上的任意位置都成立，所以取特殊情况，即M,N 与B,C 重合时，可以得到1m n ==，2m n ∴+=。

2.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=--，则c =（ D ） A.1322a b -- B.1322a b -+ C.3122a b - D.3122a b -+变式：已知(1,2),(1,3),(1,2)a b c ==-=-，请用,a b 表示c 。