2018年宝山区高考数学一模试卷含答案
2017.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设集合{2,3,4,12}A =，{0,1,2,3}B =，则A B =
2. 57lim 57n n
n n
n →∞-=+ 3. 函数22cos (3)1y x π=-的最小正周期为
4. 不等式
211
x x +>+的解集为 5. 若23i z i -+=（其中i 为虚数单位），则Im z = 6. 若从五个数1-，0，1，2，3中任选一个数m ，则使得函数2()(1)1f x m x =-+在R 上单调递增的概率为 （结果用最简分数表示）
7. 在23(n x
+的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则常数项的值等于
8. 半径为4的圆内接三角形ABC 的面积是
116
，角A 、B 、C 所对应的边依次为a 、b 、c ， 则abc 的值为 9. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，双曲线22
125144
x y -=的右焦点是C 的焦点F ，若斜率 为1-，且过F 的直线与C 交于A 、B 两点，则||AB =
10. 直角坐标系xOy 内有点(2,1)P --、(0,2)Q -，将POQ ∆绕x 轴旋转一周，则所得几何体的体积为
11. 给出函数2()g x x bx =-+，2()4h x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式
()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()()()()()g x x t f x h x x t ≤⎧=⎨>⎩
恰有 两个零点，则实数t 的取值范围为
12. 若n （3n ≥，*n N ∈）个不同的点111(,)Q a b 、222(,)Q a b 、⋅⋅⋅、(,)n n n Q a b 满足： 12n a a a <<⋅⋅⋅<，则称点1Q 、2Q 、⋅⋅⋅、n Q 按横序排列，设四个实数k 、1x 、2x 、3x
使得312()k x x -，23x ，222x 成等差数列，且两函数2y x =、13y x
=+图像的所有交点 111(,)P x y 、222(,)P x y 、333(,)P
x y 按横序排列，则实数k 的值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 关于x 、y 的二元一次方程组341310x y x y +=⎧⎨
-=⎩的增广矩阵为（ ） A. 3411310-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ B. 3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭
C. 3411310⎛⎫ ⎪-⎝⎭
D. 3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭ 14. 设1P 、2P 、3P 、4P 为空间中的四个不同点，则“1P 、2P 、3P 、4P 中有三点在同一条 直线上”是“1P 、2P 、3P 、4P 在同一个平面上”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
15. 若函数(2)y f x =-的图像与函数log 2y =的图像关于直线y x =对称， 则()f x =（ ）
A. 223x -
B. 213x -
C. 23x
D. 213x +
16. 称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：
数列甲：125,,,x x x ⋅⋅⋅为递增数列，且*i x N ∈（1,2,,5i =⋅⋅⋅⋅）；
数列乙：12345,,,,y y y y y 满足{1,1}i y ∈-（1,2,,5i =⋅⋅⋅⋅）
则在甲、乙的所有内积中（ ）
A. 当且仅当11x =，23x =，35x =，47x =，59x =时，存在16个不同的整数，它们同为奇数
B. 当且仅当12x =，24x =，36x =，48x =，510x =时，存在16个不同的整数，它们同为偶数
C. 不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数
D. 存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB BC ==，18DD =，
M 为棱11C D 的中点.
（1）求四棱锥M ABCD -的体积；
（2）求直线BM 与平面11BCC B 所成角的正切值.
18. 已知函数2
()12sin 2x f x =-. （1）求()f x 在3[,]22ππ
上的单调递减区间；
（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边依次为a 、b 、c ，若211
4111
c a b ---=-且
1()2
f C =
，求ABC ∆面积的最大值，并指出此时ABC ∆为何种类型的三角形.
19. 设数列{}n a ，{}n b 及函数()f x （x R ∈），()n n b f a =（*n N ∈）.
（1）若等比数列{}n a 满足11a =，23a =，()2f x x =，求数列1{}n n b b +的前n （*n N ∈）项和；
（2）已知等差数列{}n a 满足12a =，24a =，()(1)x f x q λ=+（λ、q 均为常数，0q >且1q ≠），123()n n c n b b b =++++⋅⋅⋅+（*n N ∈），试求实数对(,)q λ，使得{}n c 成等比数列.
20. 设椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）过点(2,0)-，且直线510x y -+=过C 的左焦点. （1）求C 的方程；
（2）设()x 为C 上的任一点，记动点(,)x y 的轨迹为Γ，Γ与x 轴的负半轴、y 轴的正半轴分别交于点G 、H ，C 的短轴端点关于直线y x =的对称点分别为1F 、2F ，当点P 在直线GH 上运动时，求12PF PF ⋅的最小值；
（3）如图，直线l 经过C 的右焦点F ，并交C 于A 、B 两点，且A 、B 在直线4x =上的射影依次为D 、E ，当l 绕F 转动时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，否则，请说明理由.
21. 设z C ∈，且(Re 0)()(Re 0)z z f z z z ≥⎧=⎨-<⎩
. （1）已知2()()429f z f z z i +-=-+（z C ∈），求z 的值；
（2）设z （z C ∈）与Re z 均不为零，且21n z ≠-（*n N ∈），若存在*0k N ∈， 使得001|(())|2(())k k f z f z +≤，求证：1|()|2()
f z f z +≤； （3）若1z u =（u C ∈），21(1)n n n z f z z +=++（*n N ∈），是否存在u ，使得数列12,,z z ⋅⋅⋅
满足n m n z z +=（m 为常数，且*m N ∈）对一切正整数n 均成立？若存在，试求出所有的u ， 若不存在，请说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. {2,3}
2. 1-
3. 13
4. {|1}x x >-
5. 2
6. 25
7. 405 8. 1 9. 104 10. 4π 11. [2,0)[4,)-+∞ 12. 1
二. 选择题
13. C 14.A 15. C 16. D
三. 解答题
17.（1）1283
；（2）10.
18.（1）()cos f x x =，在[,]2
π
π递减；（2.
19.（1）3
(91)2n -；（2）(-. 20.（1）22143x y +=；（2）115-；（3）5(,0)2
. 21.（1）23i -；（2）略；（3）i ±.。