翻折问题一．解答题（共1小题）1．（2014•西城区一模）阅读下列材料：问题：在平面直角坐标系xOy中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置．已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB（含端点）或其延长线交于点F，求点A的坐标．小明在解决这个问题时发现：要求点A的坐标，只要求出线段AD的长即可，连接OA，设折痕EF所在直线对应的函数表达式为：y=kx+n（k＜0，n≥0），于是有E（0，n），F（﹣，0），所以在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=﹣k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长（如图1）请回答：（1）如图1，若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标；（2）在图2中，已知点O落在边CD上的点A处，请画出折痕所在的直线EF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；参考小明的做法，解决以下问题：（3）将矩形沿直线y=﹣x+n折叠，求点A的坐标；（4）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围．考点：一次函数综合题．分析：（1）如图1，在Rt△EOF中，得到tan∠OFE=﹣k，在Rt△AOD中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段DA的长；（2）作OA的中垂线即可；（3）如图，设直线y=﹣x+n，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由△AEF≌△OEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，由∠EAF=90°可知∠1+∠3=90°，从而求得∠1=∠2，得出△DEA∽△GAF所以=，由FG=CB=6解得DA=3，从而求得A点的坐标．（4）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，解答：解：（1）如图1若点E的坐标为（0，4），直接写出点A的坐标为（2，6）；（2）如图所示：（3）如图，过点F作FG⊥DC于G ∵EF解析式为y=﹣x+n，∴E点的坐标为（0，n），∴OE=n∴F点的坐标为（2n，0），∴OF=2n∵△AEF与△OEF全等，∴OE=AE=n，AF=OF=2n∵点A在DC上，且∠EAF=90°∴∠1+∠3=90°又∵∠3+∠2=90°∴∠1=∠2在△DEA与△GAF中，∴△DEA∽△GAF（AA）∴=∵FG=CB=6∴=∴DA=3∴A点的坐标为（3，6）．（4）﹣1≤k≤﹣．∵矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上，（1）当E点和D点重合时，k的值为﹣1，（2）当F点和B点重合时，k的值为﹣；∴﹣1≤k≤﹣．点评：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．2．（2015•杭州模拟）将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=8，DB=10，则BC的长是（）A．6B．16C．2D．4考点：翻折变换（折叠问题）．分析：如图，作辅助线；首先运用圆周角定理的推论，证明AC=DC，此为解决该题的关键性结论；其次证明DE=4，进而得到BE=14；证明△ABC为直角三角形，运用射影定理求出BC，即可解决问题．解答：解：如图，连接CD、AC，过点C作CE⊥AB于点E；∵，∴∠CAB=∠DCB+∠DBC，∵∠ADC=∠DCB+∠DBC，∴∠CAB=∠ADC，AC=DC；∵CE⊥AD，∴AE=DE=4，BE=4+10=14；∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°；由射影定理得：BC2=AB•BE，∴BC=6．故选A．点评：该题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等几何知识点来分析、判断、解答．3．（2015•杭州模拟）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能得到一个直角三角形，且它的一个锐角等于30°，这样的图形有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：翻折变换（折叠问题）．分析：如图②，首先运用翻折变换的性质、平行线的性质证明∠FBE=∠EBG（设为α），此为解题的关键性结论；再次证明∠ABD=∠FBE=α，求出α=30°；如图④，首先运用翻折变换的性质证明∠MAB=60°，求出∠BAC=60°，进而得到∠ACB=，30°，即可解决问题．解答：解：如图②，由题意得：AD∥CF，AC=BC∴DF=BF，EF为直角△BDE斜边上的中线，∴EF=BF，∠FBE=∠FEB；而E F∥BC，∴∠FEB=∠EBG，∠FBE=∠EBG（设为α）；由题意得：∠ABD=∠FBE=α，而∠ABG=90°，∴3α=90°，α=30°；如图④，由题意得：AN=AB=2AM，∠AMB=90°，∴∠ABM=30°，∠MAB=60°；由题意得：∠NAC=∠BAC==60°，∴∠ACB=90°﹣60°=30°，综上所述，有一个锐角为30°的直角三角形有两个，故选C．点评：该题以正方形为载体，主要考查了翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握翻折变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．4．（2015•沂源县校级模拟）如图，对折矩形纸片ABCD，使BC与AD重合，折痕为EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使BC与EF重合，折痕为GH，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在GH上的点N处，并使折痕经过点B，折痕BM交GH于点I．若AB=4cm，则GI的长为（）A．cm B．cmC．cmD．cm考点：翻折变换（折叠问题）．分析：如图，首先由翻折变换的性质证明BN=BA=4，MN=MA（设为λ）；由勾股定理求得BQ=；在直角△MNP中，由勾股定理列出关于λ的方程，求出λ；运用△BGI∽△BAM，列出关于GI的比例式，即可解决问题．解答：解：如图，分别过点M、N作MP⊥GH、NQ⊥BC于点P、Q；则MP=AG=3，NQ=BG=1，GN=BQ，GP=MA；由题意得：BN=BA=4，MN=MA（设为λ），由勾股定理得：BQ=，∴PN=﹣λ；由勾股定理得：，解得：λ=；由题意得：GI∥AM，∴△BGI∽△BAM，∴，∴GI==，故选D．点评：该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等知识点来分析、判断、解答．7．（2014•路南区三模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则下列说法：①∠ABC=30°；②弧AC的长与弧OC的长相等；③弦BC的长为4；④阴影部分的面积是，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：翻折变换（折叠问题）；弧长的计算；扇形面积的计算．专题：计算题．分析：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得BE=CE，再根据折叠的性质得到ED=EO，则OE=OB，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC=30°，即∠ABC=30°；利用互余和等腰三角形的性质得∠BOD=∠COD=60°，则可判断△OCD为等边三角形，所以∠ODC=60°，然后根据弧长计算可计算出弧OC的长=π，弧AC的长=π，即弧AC的长与弧OC的长相等；在Rt△OBC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得BE=OE=2，则有BC=4；由于OC=OB，则弓形OC的面积=弓形OB的面积，然后根据扇形的面积公式和S阴影部分=S扇形OAC计算得到④正确．解答：解：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，∵OD⊥BC，∴BE=CE，∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，∴ED=EO，∴OE=OB，∴∠OBC=30°，即∠ABC=30°，所以①正确；∴∠BOD=∠COD=60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC=60°，∴弧OC的长==π，∵∠AOC=60°，∴弧AC的长==π，∴弧AC的长与弧OC的长相等，所以②正确；在Rt△OBC中，OE=2，∠OBE=30°，∴BE=OE=2，∴BC=2BE=4，所以③正确；∵OC=OB，∴弓形OC的面积=弓形OB的面积，∴S阴影部分=S扇形OAC==π，所以④正确．故选D．点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了弧长公式和扇形的面积公式．二．解答题（共1小题）9．（2014•绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）由矩形和翻折的性质可知AD=CE，DC=EA，根据“SSS”可求得△DEC≌△EDA；（2）根据勾股定理即可求得．（3）由矩形PQMN的性质得PQ∥CA，所以，从而求得PQ，由PN∥EG，得出=，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．解答：（1）证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE，DC=EA，在△ADE与△CED中，∴△DEC≌△EDA（SSS）；（2）解：如图1，∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE，∴∠ACD=∠CAE，∴AF=CF，设DF=x，则AF=CF=4﹣x，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即32+x2=（4﹣x）2，解得：x=，即DF=．（3）解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQ∥CA∴又∵CE=3，AC==5设PE=x（0＜x＜3），则，即PQ=过E作EG⊥AC于G，则PN∥EG，∴=又∵在Rt△AEC中，EG•AC=AE•CE，解得EG=，∴=，即PN=（3﹣x），设矩形PQMN的面积为S，则S=PQ•PN=﹣x2+4x=﹣+3（0＜x＜3）所以当x=，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理．。