( p − λ 1 ) k ( p − λ k +1 ) L ( p − λ n ) = 0
k
则零输入响应的形式为
r zi ( t ) = ( C 0 + C 1 t + C 2 t 2 + L + C k − 1 t k − 1 ) e λ 1t
+ C k +1 e λ k + 1 + L + C n e λ n
f (t )
t
1.2 信号的分类及性质
例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt
解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期 之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号， T T 其周期为T1和T2的最小公倍数。 1 sin2t （1）sin2t sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω1= 2 rad/s ， T1= 2π/ ω1= πs cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 ω2= 3 rad/s ， T2= 2π/ ω2= (2π/3) s T f (t)为周期信号。 由于T1/T2= 3/2 3/2为有理数，故f1(t) 其周期为T1和T2的最小公倍数2π。 （2） cos2t 和sinπt的周期分别为T1= πs， T2= 2 s， 由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
第一章 信号与系统 1.1 绪论 1. 信号的表示
电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。 描述信号的常用方法 描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数 （2）图形表示--波形
2. 系统的表示
e(t )
• 系统可以用下面的方框图来表示
r (t )
e(t )是输入信号，称为激励;
r (t )是输出信号，称为响应。
d n h (t ) dt n
+ a n −1
bm
d n −1 h (t ) dt n −1
+ L + a1
dh (t ) + a 0 h (t ) = dt
+ L + b1
d m δ (t ) dt m
+ b m −1
d m −1δ (t ) dt m −1
d δ (t ) + b 0 δ (t ) dt
第二章 连续时间系统的时域分析
基本概念：系统的数学模型、特征方程、特征根、 基本概念：系统的数学模型、特征方程 特征方程、 奇异函数、零输入响应、零状态响应 、 奇异函数、零输入响应 零输入响应、 单位冲激响应、单位阶跃响应、自然 单位冲激响应、 响应、受迫响应、瞬态响应、稳态响应、 卷积。 卷积。 基本运算：零输入响应的求解、单位冲激响应及单位 基本运算：零输入响应的求解 单位冲激响应及单位 零输入响应的求解、 阶跃响应的求解、零状态响应的求解、卷 阶跃响应的求解、零状态响应的求解 零状态响应的求解、 积的几何含义、卷积性质的应用。 积的几何含义、 卷积性质的应用。
1.2 信号的分类及性质
1. 确定信号和随机信号
确定信号：
可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或 规则信号。如正弦信号。
随机信号：
若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取 值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某 时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确 定信号。 研究确定信号是研究随机信号的基础。 本课程只讨论确定信号。
R M
+
∗ ∗
e(t)
−
i1(t)
L
L
i2 (t)
di2 (t ) ⎧ di1 (t ) ⎪L dt + R ⋅ i1 (t ) − M dt = e(t ) ⎪ R ⎨ ⎪L di2 (t ) + R ⋅ i (t ) − M di1 (t ) = 0 2 ⎪ dt dt ⎩
数学模型是线性常系数微分方程，推广得到n阶 系统的数学模型为：
1.2 信号的分类及性质
例2 判断正弦序列f(k) = sin(βk)是否为周期信号， 若是，确定其周期。
解 f (k) = sin(βk) = sin(βk + 2mπ) ， m = 0,±1,±2,… 0,±1,±2,…
⎡ ⎛ 2π⎞⎤ = sin ⎢β k + m ⎜ ⎟⎥ = sin[β(k + mN)] β ⎠⎦ ⎣ ⎝
§2.3 系统的零输入响应
零输入响应———
外加激励信号为0，仅仅由系 统的初始条件(状态)所产生的 响应，记为 rzi (t ) 。
零输入响应的求解需要以下几步： (1) 建立系统的数学模型； (2) 列特征方程，求特征根； (3) 确定零输入响应的模式； (4) 用初始条件确定待定系数。
(0-) 需要注意的就是初始条件（起始状态(0-) (0-)、初始状 态(0+)）的使用。
其中 C 0 , K , C k −1 , C k +1 , K , C n 也是由系统的初始条件 确定的待定系数。
§2.6 阶跃响应和冲激响应
⎯ 单位冲激响应⎯ 以单位冲激信号作为激励信号时， 系统的零状态响应,记为 h(t )。 ⎯ 单位阶跃响应⎯ 以单位阶跃信号作为激励信号时, 系统的零状态响应，记为 rε (t )。 一、冲激响应
将信号f (t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2， ( ) 在区间(–∞ , ∞)的能量和平均功率定义为：
（1）信号的能量E （2）信号的功率P
def
E=∫
def
∞ −∞
f (t ) d t
2
1 P = lim T →∞ T
∫
T 2 T − 2
f (t ) d t
2
定义： 定义：若信号f (t)的能量有界，即 E <∞ ,则称其为能量有限 信号，简称能量信号。此时 P = 0 定义： 定义：若信号f (t)的功率有界，即 P <∞ ,则称其为功率有限 信号，简称功率信号。此时 E = ∞
一、特征根为单根的情况
p n + a n −1 p n −1 + L + a1 p + a 0 = 0 的根为 设
λ1 , λ 2 , L , λ n ,且彼此不等，即 λ1 ≠ λ 2 ≠ L ≠ λ n
( p − λ 1 )( p − λ 2 ) L ( p − λ n ) = 0
则零输入响应的形式为
d n r (t ) d n −1 r ( t ) dr ( t ) + a n −1 + L + a1 + a 0 r (t ) = n n −1 dt dt dt
bm d
m
e (t )
m
dt
+ b m −1
d
m −1
e (t )
dt
m −1
de ( t ) + L + b1 + b 0 e (t ) dt
f (2t -4) )
反转，得f (– 2t – 4)
o t
1
o
1 2 3
t
1.4 系统的分类方法
1. 连续系统与离散系统 2. 动态系统与即时系统 动态系统与即时系统 3. 线性系统与非线性系统 线性系统与非线性系统 4. 时不变系统与时变系统 时不变系统与时变系统 5. 因果系统与非因果系统 因果系统与非因果系统 6. 稳定系统与不稳定系统 稳定系统与不稳定系统
§2.2 系统数学模型的建立
1) 构成电路各个元件上的电压和电流的关系。由于 所讨论的电路系统最终可以等效为由理想元件电阻、 电容、电感所构成，因此应掌握这些元件电压与电流 的关系：
R:
L:
C:
uR = R⋅ iR
diL uL = L ⋅ dt
1 t uC = ∫ iC (τ )dτ C −∞
2) 基尔霍夫电压和电流定律。
*几种典型信号的表达式和波形
* 抽样函数(sampling)
f (t )
t
sin t f ( t ) = Sa ( t ) = t
Sa(t ) 是偶函数， = ±π , ± 2π , K t Sa(t ) 具有以下性质：
∞ ∫0
时，函数值为0。
Sa ( t ) dt = π
π Sa ( t ) dt = 2
r zi ( t ) = C 1 e λ1t + C 2 e λ 2 t + L + C n e λ n t
其中 C 1 , C 2 , K , C n 是由初始条件确定的待定系数。
二、特征根有重根的情况 假设λ1是特征方程的 k阶重根，即特征方程有 ( p − λ1 ) 因子，其余为单根，即特征方程可表示为：
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信 号，简称离散信号。 如取值也离散则常称为数字信号。 这里的“离散”指信号的定义域—时间是离散的，它只在 某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。
1.2 信号的分类及性质 3. 周期信号和非周期信号
周期信号(period signal)是定义在(-∞，∞)区间，每 隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。 连续周期信号f(t)满足 m 0,±1,±2,… f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,… 离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为信号的周期。 不具有周期性的信号称为非周期信号。
由上式可见： • 仅当2π/ β为整数时，正弦序列才具有周期N = 2π/ β。 2 / • 当2π/ β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周 期为N= m(2π/ β)，m取使N为整数的最小整数。 2 / • 当2π/ β为无理数时，正弦序列为非周期序列。