因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。

解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。

原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式= (x2=(x=(xy2) (ax ay)y)(xy)(xy) a(x y a) y)例4、分解因式： 2 a 2ab b2 2 c解：原式=(a2；2ab b2)2 c =(a 2 2b) c=(a b c)(a b c)练习：分解因式3、:x2 x 9y23y 24、x 2y 2 z 2yz综合练习：(1) 3 x 2 2x y xy 3 y 2(2) ax bx2bx ax a b(3) x2 6xy 9y 216a28a 1 (4) a26ab 12b 9b24a(5) a4 2a3 2 a 9 2(6) 4a x 4a2>y b2x b2y2 (7) x 2xy xz 2yz y 2(8) a 2a b 2 , 2b 2ab 1(9) y(y 2) (m 1)( m 1) (10) (a c)(a c) b(b 2 a) (11) a2 (b c) b2(a c) c2(a > b) 32abc (12)a b3 3 c 3abc四、十字相乘法•(一)二次项系数为1的二次三项式2直接利用公式x (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。

特点：(1)二次项系数是1 ；(2)常数项是两个数的乘积；(3)—次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知O v a < 5，且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c ,都要求b2 4ac >0而且是一个完全平方数。

于是9 8a为完全平方数，a 1例8分解因式：a 2 8ab 128b 2分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于 a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 1-16b8b+(-16b)= -8b~解：a 2 8ab 128b 2=a 2[8b ( 16b)]a 8b ( 16b)=(a 8b)(a16b)练习 8 分解因式(1) x 2 3xy 2y 2(2) m 2 6mn 8n 2(3) a 2 ab 6b 2五、换元法。

例 13、分解因式(1)2005x 2 (20052 1)x 20052(2)(x 1)(x 2)(x 3)(x 6) x2 2解：(1 )设 2005= a ，则原式=ax (a 1)x a=(ax 1)(x a) = (2005x 1)(x2005)(2)型如abcd e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

(3) (x y)23(x y)10(4)(a b)2 4a 4b 3(5) 2 2x y 5x 2 y 6x 2(6) m 2 4mn4n 2 3m6n 2(7)2 x 4xy 4y 2 2x 4y3( 8) 5(a b)223(a 2 b 2) 1 I0(a b)2(9) 4x 24xy 6x 3y2y10( 10) 212(x y) 11(x 2 y 2) 2(xy)2思考: 分解1 因式： 2abcx(a 2b 2c 2 )x abc1 7x 3211xy 15y综合练习10、( 1)8x 62(2) 12x (四)二次项系数不为1 例 9、2x2 7xy1创2 ”^-3y (-3y)+(-4y)= -7y解:原式=(x 2y)(2x练习9、分解因式：(1)的齐次多项式6y 23y)15x 27xy 例 10、x 2 y 2 3xy 2把xy 看作一个整体1-11^^" -2(-1)+(-2)= -3 解:原式= (xy 1)(xy 2)2 2x 6ax 84y 2(2) a2 2 2原式=(x 7x 6)(x 5x 6) x 设x25x 6 A,则x27x 6 A 2x•原式:=(A 2x )A x2= A 2 2 Ax x2=(A x)2=(x 2 6x 6)2练习13、分解因式（1)(x2xy y2)2 4xy(x2y 2)(2)(x23x 2)(4x2 8x 3) 90(3)(a21)2(a25)24( 2 a 3)2例14、分解因式（1）2x4 x3 6x2 x观察：此多项式的特点一一是关于x的降幕排列，每一项的次数依次少1, 并且系数成“轴对称”。

这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解:原式=x2(2x2x 6 -12)=x22(x212) (x -)6x x x x 设x 1 t,则x212t2 2x x•原式2=x 2(t22) t 6 2 =x 2t2t 1022t - 2 -2 12=x 5 t 2 = x 2x 5 xx x=x ' •2x 2 5 x - x 1 2 = 2x25x 2 2 x 2x 1 x x=(x 1)2(2x 1)(x 2)(2) x 4 4x3x24x 1解:原式2=x (x24x1 - \)-2 =x 2 x124 x丄1x x x x设x 1 y，则x：2 122y 22x x2 2 2•••原式=x (y 4y 3)= x (y 1)(y 3)= x2(x -x 1)( x 1 2 23)= x2 x 1 x2 3x 1 x练习14、（1）6x47x336x27x 6 (2) 4 x 2x3x2 1 2(x x2)2对比左右两边相同项的系数可得m n 13n 2m 13，解得六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1） x 3 3x 24解法 1 — 拆项。

解法2 - 添项。

原式 =x 3 1 3x 2 3原式=x3x 2 4x4x 4 = (x 1)( x 2 x1)3(x 1)(x 1)=x(x 2 3x 4) (4x 4)= (x 1)(x 2 x 1 : 3x 3)=x(x 1)(x 4) 4( x 1)= (x1)( x 2 4x :4)=(x 1)( x 2 4x 4)= (x 1)(x 2)2=(x1)(x 2)2(2) 9 xx 6 x 3 3解:原式= (x 9 1) (x 61) (x 31)=(x 3 1)(x 6 x 3 1) (x 3 1)(x 31) (x 3 1)= (x 3 1)( x 6 x 31 x 31 1)= (x1)(x 2x 1)(x 62x 33)练习 15、 分解因式(1) 3 x9x 8(2) (x 1)4(x 2 1)2 (x 1)4(3) x 47x 2 1(4) x 4x 22 ax 1 a 2(5) 4 x 4 y (xy)4(6) 2a 2b 22a 2 c 2 2b 2c 2a 4b 4c 4七、待定系数法。

例16、分解因式X xy 6y 2 x 13y 6分析：原式的前3项x 2 xy 6y 2可以分为(x 3y)(x 2y)，则原多项式必定可分为(x 3y m)(x 2y n)解：设 x 2 xy 6y 2 x 13y 6 = (x 3y m)(x 2y n)••• (x 3y m)(x 2y n) = x xy 6y (m n)x (3n 2m) y mn2xy 6y (m n)x (3n 2m) y mn2x xy2 26y x 13y 6 = x例17、(1)当m为何值时，多项式x2 y2 mx 5y 6能分解因式，并分解此多项式。

(2)如果x3 ax2 bx 8有两个因式为x 1和x 2，求a b的值。

(1)分析：前两项可以分解为(x y)(x y)，故此多项式分解的形式必为(x y a)(x y b)解：设x2 2y mx 5y 6 =(x y a)(x y b)则x2 2y mx 5y 6 2 =x 2y (a b)x (b a) y aba b m a 2 a 2比较对应的系数可得： b a 5 ,解得： b 3或 b 3ab 6 m 1 m 1.•.当m 1时，原多项页式可以分解；当m 1时，原式= (x y 2)(x y 3)；当m 1时，原式=(x y 2)(x y 3)(2)分析：x3ax2 bx 8是一个二次式，所以它丿应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形「如x c的一次二项式。

解：设x 3 2 .ax bx 8 = (x 1)(x 2)( :x c)则x 3 2 .ax bx 8=x3(3 c )x2(2 3c)x 2 ca 3 c a 7.b 2 3c 解得 b 14 ,2c 8 c 4.a b =21练习 17、(1):分解因式x2；3xy 10y2x 9y 2(2)分解因式x2 3xy 2y25x 7y 6(3)已知：x22xy 3y2 6x 14y p能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。