§8.圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长（定长通常等于2a ，且2a >F 1F 2）的点的轨迹叫椭圆。

为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+（1）①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12222b a b y a x=+.ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222 b a bx ay=+.注：A.以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b ac =-；B.在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。

②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.③椭圆的标准方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （一象限θ应是属于20πθ ）.⑵椭圆的性质①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或ca y 2±=.⑥离心率：)10( e ace =.【∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=。

】 ⑦焦（点）半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 ⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201 x a ex x ca e pF x ex a ca x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径.坐标：),(2222a b c a b d -=和),(2ab c⑨焦点三角形的面积：若P 是椭圆：12222=+by ax 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）。

若是双曲线，则面积为2cot2θ⋅b 。

（3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c ace -==，方程t t b y a x (2222=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是ace =我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 2.椭圆的第二定义：平面内到定点F 的距离和它到一条定直线L （F 不在L 上）的距离的比为常数e （01e <<）的点的轨迹叫做椭圆。

其中定点F 为椭圆的焦点，定直线L 为椭圆焦点F 相应的准线。

二、双曲线方程1. 双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F 1，F 2的差的绝对值等于定长（定长通常等于2a ，且2a <F 1F 2）的点的轨迹叫做双曲线。

（12||||||2PF PF a -=）。

的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-⑴①双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222 b a bx ay b a by ax =-=-.一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.⑵①i. 焦点在x 轴上：顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b y a x 或02222=-by a xii. 焦点在y 轴上： 顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2±=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-bx a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x .②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率ace =. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径ab 22.⑤参数关系ace b a c =+=,222.⑥焦（点）半径公式：对于双曲线方程12222=-b y a x（21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-M aex F M '--='01aey F M a ey F M aey MFa ey MF -'-='+'-='+=-=02010201⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .A.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：a b =；B.等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直。

C.注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλby ax 的渐近线方程为02222=-by ax 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x . 例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0(422≠=-λλy x ，代入)21,3(-得12822=-y x . 2.双曲线的第二定义：平面内到定点F 的距离和它到一条定直线L （F 不在L 上）的距离的比为常数e （e >1）的点的轨迹叫做双曲线。

其中定点F 为双曲线的焦点，定直线L 为双曲线焦点F 相应的准线。

三、抛物线方程（1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。

定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

方程()022>=p pxy 叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p ,0），它的准线方程是2p x -= ； （2）抛物线的性质设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①通径（过焦点且垂直于坐标轴的线段）为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）.四、圆锥曲线的统一定义1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a c e =，当b a c ==,0时）.【弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=】2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆 双曲线 抛物线定义1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1）1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M ｜｜MF 1+｜MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜2a}. 点集：{M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜. =±2a,｜F 2F 2｜＞2a}. 点集{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}.图形方程标准方程 12222=+b y a x (b a >>0) 12222=-b y a x (a>0,b>0) px y 22=参数方程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数) 范围 ─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0【备注1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . （2）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±b ya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby a x . 【备注2】抛物线：（1）设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p. （2）已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 称为焦点弦，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则弦长AB =21x x ++p 或α2sin 2p AB =(α为直线AB 的倾斜角)，221p y y -=，2,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径).§弦长公式：。