A
1×250=250千克．
原料B 0 1 250千克
约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量。
用Si表示松弛量，对最优解 x1=50,x2=250来说：
约束条件
松弛变量的值
设备台时数
s1=0
原料A
s2=50
原料B
s3=0
8
线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3，
约束条件： x1+x2+s1=300,
2x1+x2+s2=400,
x2+s3=250, x1,x2,s1,s2,s3≥0
如何把模型化为 标准型？
三个特征：
一、约束条件为等式；
二、约束条件右端常数项非负；
三、所有变量非负。
称为线性规划的标准形式。
9
线性规划问题解的情况：
1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
C 100
1设备台时获利500/10=50
元。 x1
O 100 D300 X1+X2=300
X1+X2=310
你知道对偶价格吗？
21
对偶价格的概念
约束条件右边常数项增加一单位而使最优目标函数值 得到改进的数量称为这个约束条件的对偶价格。
例1中台时约束条件的对偶价格为50元。
若例1中原料A增加了10千克，则原料A的约束变为
原因：模型忽略了必要
Z=0=X1+X2
的约束条件。
X1-X2=1 1 2 3 x1
Z=1=X1+X2
11
4．无可行解的情况。
比如例1中增加一个约束条件4x1+3x2≥1200：
400
x2
X2=250
100 100
X1+X2=300
300
x1
4x1+3x2=1200
可行域为空域。
原因：约束条件自相矛盾。
问题的解：
Z=10000=50x1+100x2
最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得
最大利润27500元。
7
松弛变量
最佳决策为x1=50, x2=250，此时z=27500。
Ⅰ Ⅱ 资源限制 设备 1 1 300台时
资源消耗
50+250=300台时
原料 2 1 400千克 2×50+250=350千克
一般地，当某一产品的单位利润增加或减少时，为获取最 大利润就应该增加或减少这一产品的产量，也就是改变最优解。
如何确定使其最优解不变的利润(c1, c2)变化范围？
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x2
直线F(X2=250，斜率0)
300 A
B
C
Z=c1x1+c2x2
=50x1+100x2=27500
100
100
300
D
斜率为-C1/C2 x1
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的一 些系数ci, aij, bj发生变化时，对最优解产生的影响。
灵敏度分析的重要性：
1、ci, aij, bj这些系数可能是估计值，不一定精确； 2、这些系数会随市场条件的变化而变化。例如原 材料价格、劳动力价格的变化都会影响这些系数；
有了灵敏度分析就不必为应付这些变化而不停求 其新的最优解，也不必因系数估计的精确性而对求 得的最优解存有怀疑。
线性规划的数学模型一般形式为:
目标函数： max (min) Z=c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件： a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥) b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn≤( =, ≥) b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤( =, ≥) bm,
解：设x1为购进原料A的吨数，x2为购进原料B的吨
数。则此线性规划的数学模型如下：
目标函数： min f=2x1+3x2， 约束条件： x1+x2≥350， x1≥125， 2x1+x2≤600, x1,x2≥0.
13
x2
图解法：
500
300 X1+X2=350 100
2X1+X2=600 f=2x1+3x2=1200
3
设工厂生产x1个Ⅰ产品和x2个Ⅱ产品,相应的利润
z=50 x1+100x2 。问题的数学模型如决下策：变量
目标函数： 约束条件：
max z=50x1+100x2， x1+x2≤300， 2 x1+x2≤400，
台时数 原材料A
x2≤250,
原材料B
x1≥0, x2≥0.
目标函数为线性函数，约束条件也为线性的，这样的
物力、财力，作出最优的产品生产计划，使得工厂获 利最大。
3．运输问题。一个公司有若干个生产单位与销售单
位，根据各生产单位的产量及销售单位的销量，如何 制定调运方案，将产品运到各销售单位而总的运费最 小。
1
4．投资问题。从许多不同的投资项目中选出一个 投资方案，使得投资的回报为最大。
共同特点： 首先，要求达到某些数量上的最大化或最小化。
2x1+x2≤410，
可行域扩 大了，但并没 影响最优解和最优值，最
x2 300 B
A
Z=50x1+100x2
优解仍 是B点，最优值仍是 27500，没有任何改进. 故 100 C 原料A的对偶价格为零。
同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1
x2 -3x1+2x2=6
-3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
3
Z=3=X1+X2
注意啊
1
可行域无界，目标函数值可
-1
以增大到无穷大，无最优解。
等号成立时， 有无穷多解
19
- 1≤ -C1/C2≤0时 B点仍为最优解
x2
直线F(X2=250，斜率0)
300 A
B
C
Z=27500=50x1+100x2
100
100
300
D
斜率为-C1/C2 x1
直线G (2X1+X2=400,斜率-2) 直线E(X1+X2=300,斜率-1)
问题1：固定C2=100，则C1在什么范围内变动时，B仍为最优解? 固定C2=100，则 0≤C1≤100时B仍为最优解。
问题2：固定C1=50，则C2在什么范围内变动时，B仍为最优解? 固定C1=50，则50≤C2<+∞时B仍为最优解。
问题3：C1和C2都变化时，例如C1=60,C2=50，B是否仍为最优解?
-2(直线G的斜率)≤－C1/C2=－1.2 ≤-1(直线E的斜率)，此时
其最优解在C点(x1=100, x2=200) .
2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
（注意松弛变量符号为正，而剩余变量符号为负）
15
§2.3图解法的灵敏度分析
松弛变量和剩余变量看成决策变量，用Xi来表示，得到
线性规划的标准形式:
目标函数：max(或min) Z=c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件： a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
2．无穷多个最优解的情况。
比如例1中的目标函数变为max Z =50x1+50x2，则
400 x2
Z=15000=50x1+50x2
Z=0=50x1+50x2 100
B
X2=250
C
2x1+x2=400
100
300
x1
Z=10000=50x1+50x2
X1+X2=300
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相
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二、约束条件中常数项bj的灵敏度分析
当约束条件的常数项bj变化时，其线性规划的可行
域也将变化，这样就可能引起最优解的变化。
假设例1中增加了10个设备台时，这样设备台时的
约束就变为：x1+x2≤310.
400 x2 A B B′
Z=50x1+100x2
扩大了可行域，新的最优 解：B′点(x1=60, x2=250)， 此时Z=28000，比原来增 加了500元，相当于每增加
6
2x1+x2=400
400 阴影部分的每
一点都是这个线
性规划的可行解，
而此公共部分是
可行解的集合，
100
称为可行域。
x2
Z=27500=50x1+100x2
B
X2=250
100
300
x1
B点为最优解， 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。