线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
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3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
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灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
一些系数ci, aij, bj发生变化时，对最优解产生的影响。
灵敏度分析的重要性：
1、ci, aij, bj这些系数可能是估计值，不一定精确； 2、这些系数会随市场条件的变化而变化。例如原 材料价格、劳动力价格的变化都会影响这些系数； 有了灵敏度分析就不必为应付这些变化而不停求 其新的最优解，也不必因系数估计的精确性而对求 得的最优解存有怀疑。
一般地，当某一产品的单位利润增加或减少时，为获取最 大利润就应该增加或减少这一产品的产量，也就是改变最优解。
如何确定使其最优解不变的利润(c1, c2)变化范围？
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x2 300 A
100 B C
直线F(X2=250，斜率0) Z=c1x1+c2x2 =50x1+100x2=27500 300 斜率为-C1/C2
线性规划的数学模型一般形式为:
目标函数： max (min) Z=c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件： a11x1+a12x2+…+a1nxn≤( =, ≥) b1, a21x1+a22x2+…+a2nxn≤( =, ≥) b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤( =, ≥) bm, x1, x2, …, xn≥0.
3、当-c1/c2≤-2 时，最优解在D点.
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x2 - 1≤ -C1/C2≤0时
B点仍为最优解
直线F(X2=250，斜率0) B
300 A
100
C
100
Z=27500=50x1+100x2
300 斜率为-C1/C2
D
直线G (2X1+X2=400,斜率-2)
x1
直线E(X1+X2=300,斜率-1)
目标函数为线性函数，约束条件也为线性的，这样
的模型称之为线性规划。如果目标函数或约束条件是 非线性的则称为非线性规划。 满足约束条件的解称为该线性规划的可行解。使 得目标函数最大(或最小)的可行解称为该线性规划的 最优解。
4
线性规划问题建模过程：
1．理解问题，搞清在什么条件下，追求什么样的目标。 2．定义决策变量，决策变量(X1，X2, …, Xn)的每一组值 表示问题的一个解决方案； 3．用决策变量表示目标函数。 4．用决策变量表示达到目标必须遵循的约束条件。
1
4．投资问题。从许多不同的投资项目中选出一个 投资方案，使得投资的回报为最大。
共同特点： 首先，要求达到某些数量上的最大化或最小化。 问题1，要求使用原料钢管最少； 问题2, 要求利润最大； 问题3，要求运费最小； 问题4，要求投资回报最大。线性规划问题的目标。 其次，一定的约束条件下追求其目标。
（注意松弛变量符号为正，而剩余变量符号为负）
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§2.3图解法的灵敏度分析
松弛变量和剩余变量看成决策变量，用Xi来表示，得到
线性规划的标准形式:
目标函数：max(或min) Z=c1x1+c2x2+…+cnxn 约束条件： a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, ………………………… am1x1+am2x2+…+am nxn=bm. x1, x2,…,xn≥0.
二、约束条件中常数项bj的灵敏度分析
当约束条件的常数项bj变化时，其线性规划的可行
域也将变化，这样就可能引起最优解的变化。
假设例1中增加了10个设备台时，这样设备台时的 约束就变为：x1+x2≤310.
400
A 100 O B C x2 Z=50x1+100x2 扩大了可行域，新的最优 解：B′点(x1=60, x2=250)， 此时Z=28000，比原来增 加了500元，相当于每增加 1设备台时获利500/10=50 元。 你知道对偶价格吗？
Z=3=X1+X2
注意啊
可行域无界，目标函数值可
以增大到无穷大，无最优解。
1
-1 1 2
X1-X2=1
3 x1
原因：模型忽略了必要
的约束条件。
Z=0=X1+X2
Z=1=X1+X2
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4．无可行解的情况。 比如例1中增加一个约束条件4x1+3x2≥1200：
400
x2 X2=250
100 100
问题1，在满足生产需要的数量、不同规格的约束 下追求原材料的最小使用量。 问题2, 在现有的人力、物力、财力的限制下来追求 最大利润。
2
§2.1 问题的提出
例1．某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位
产品所需的设备台时及A，B两种原材料的消耗，及 资源的限制，如下表所示。
设备 原料A 原料B
Ⅰ 1 2 0
9
线性规划问题解的情况：

1．若有最优解，一定能在可行域的顶点取得。
比如例1中的目标函数变为max Z =50x1+50x2，则
400 x2 Z=15000=50x1+50x2 B C
2．无穷多个最优解的情况。
X2=250
2x1+x2=400
Z=0=50x1+50x2
100 100
300
x1 X1+X2=300
5
§2.2 图 解 法
只含两个决策变量的线性规划，可用图解法求解。 图解法.首先把每个约束条件画在二维坐标面上。
300
x2
400 X1+X2=300
x2
100 100 300
2X1+X2=400
x1
X2=250 100 100 300
x2
x1
100
x1
100
300
6
2x1+x2=400
400 x2 Z=27500=50x1+100x2
约束条件 设备台时数 原料A 原料B 松弛变量的值 s1=0 s2=50 s3=0
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线性规划标准型
加了松弛变量后例1的数学模型可写成：
目标函数：max z=50x1+100x2+0s1+0s2+0s3， 约束条件： x1+x2+s1=300, 2x1+x2+s2=400, x2+s3=250, 如何把模型化为 x1,x2,s1,s2,s3≥0 标准型？ 三个特征： 一、约束条件为等式； 二、约束条件右端常数项非负； 三、所有变量非负。 称为线性规划的标准形式。
Ⅱ 1 1 1
资源限制 300台时 400千克 250千克
该厂生产单位产品I可获利50元，生产单位产品Ⅱ可获利 100 元，问该厂应分别生产多少产品Ⅰ和产品Ⅱ才能获利最多?
如何建立模型？
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设工厂生产x1个Ⅰ产品和x2个Ⅱ产品,相应的利润 z=50 x1+100x2 。问题的数学模型如下： 决策变量 目标函数： max z=50x1+100x2， 约束条件： x1+x2≤300， 台时数 2 x1+x2≤400， 原材料A 原材料B x2≤250, x1≥0, x2≥0.
下面对例1目标函数中的系数ci以及约束条件中的常数项bj进 行灵敏度分析。
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一、目标函数中系数Ci的灵敏度分析
例1中目标函数 max z=c1x1+c2x2= 50x1+100x2
目标中系数c1=50(生产单位I产品可获利50元)， c2=100(生产单位Ⅱ产品可获利100元)。 最优解：x1=50， x2=250，即生产I产品50单位，Ⅱ产 品250单位可获最大利润。
X1+X2=300
300 x1
4x1+3x2=1200
可行域为空域。
原因：约束条件自相矛盾。
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目标函数最小化的线性规划问题
例2、某公司因生产需要，共需A, B两种原料至少