第2章符号运算习题2及解答1 说出以下四条指令产生的结果各属于哪种数据类型，是“双精度”对象，还是“符号”符号对象？3/7+0.1; sym(3/7+0.1); sym('3/7+0.1'); vpa(sym(3/7+0.1))〖目的〗●不能从显示形式判断数据类型，而必须依靠class指令。

〖解答〗c1=3/7+0.1c2=sym(3/7+0.1)c3=sym('3/7+0.1')c4=vpa(sym(3/7+0.1))Cs1=class(c1)Cs2=class(c2)Cs3=class(c3)Cs4=class(c4)c1 =0.5286c2 =37/70c3 =0.52857142857142857142857142857143c4 =0.52857142857142857142857142857143Cs1 =doubleCs2 =symCs3 =symCs4 =sym2 在不加专门指定的情况下，以下符号表达式中的哪一个变量被认为是自由符号变量.sym('sin(w*t)'),sym('a*exp(-X)'),sym('z*exp(j*th)')〖目的〗●理解自由符号变量的确认规则。

〖解答〗symvar(sym('sin(w*t)'),1)ans =wsymvar(sym('a*exp(-X)'),1)ans =asymvar(sym('z*exp(j*th)'),1) ans = z5求符号矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A 的行列式值和逆，所得结果应采用“子表达式置换”简洁化。

〖目的〗● 理解subexpr 指令。

〖解答〗A=sym('[a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33]')DA=det(A) IA=inv(A);[IAs,d]=subexpr(IA,d) A =[ a11, a12, a13] [ a21, a22, a23] [ a31, a32, a33] DA =a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 IAs = [ d*(a22*a33 - a23*a32), -d*(a12*a33 - a13*a32), d*(a12*a23 - a13*a22)] [ -d*(a21*a33 - a23*a31), d*(a11*a33 - a13*a31), -d*(a11*a23 - a13*a21)] [ d*(a21*a32 - a22*a31), -d*(a11*a32 - a12*a31), d*(a11*a22 - a12*a21)] d =1/(a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31)8（1）通过符号计算求t t y sin )(=的导数dtdy。

（2）然后根据此结果，求-=0t dtdy 和2π=t dtdy 。

〖目的〗● diff, limit 指令的应用。

● 如何理解运行结果。

〖解答〗syms ty=abs(sin(t))d=diff(y) %求dy/dtd0_=limit(d,t,0,'left') %求dy/dt|t=0- dpi_2=limit(d,t,pi/2) %求dy/dt|t=pi/2 y =abs(sin(t)) d =sign(sin(t))*cos(t) d0_ = -1dpi_2 = 09求出dx x e x sin 7.110⎰--ππ的具有64位有效数字的积分值。

〖目的〗● 符号积分的解析解和符号数值解。

● 符号计算和数值计算的相互校验。

〖解答〗（1）符号积分syms x clear syms xy=exp(-abs(x))*abs(sin(x))si=vpa(int(y,-10*pi,1.7*pi),64) y =abs(sin(x))/exp(abs(x)) si =1.087849499412904913166671875948174520895458535212845987519414166（2）数值计算复验xx=-10*pi:pi/100:1.7*pi;sn=trapz(exp(-abs(xx)).*abs(sin(xx)))*pi/100 sn =1.087710计算二重积分⎰⎰+211222)(x dydx y x 。

〖目的〗● 变上限二重积分的符号计算法。

〖解答〗syms x y f=x^2+y^2;r=int(int(f,y,1,x^2),x,1,2) r =1006/10511在]2,0[π区间，画出dt ttx y x⎰=sin )(曲线，并计算)5.4(y 。

〖目的〗● 在符号计算中，经常遇到计算结果是特殊经典函数的情况。

● 如何应用subs 获得超过16位有效数字的符号数值结果。

● 初步尝试ezplot 指令的简便。

〖解答〗（1）符号计算syms t x; f=sin(t)/t;y=int(f,t,0,x) % 将得到一个特殊经典函数 y5=subs(y,x,sym('4.5')) ezplot(y,[0,2*pi]) y =sinint(x) y5 =（2）数值计算复验tt=0:0.001:4.5; tt(1)=eps;yn=trapz(sin(tt)./tt)*0.001 yn =1.654112在0>n 的限制下，求xdx n y n ⎰=20sin )(π的一般积分表达式，并计算)31(y 的32位有效数字表达。

〖目的〗● 一般符号解与高精度符号数值解。

〖解答〗syms xsyms n positivef=sin(x)^n;yn=int(f,x,0,pi/2)y3s=vpa(subs(yn,n,sym('1/3'))) y3d=vpa(subs(yn,n,1/3)) yn =beta(1/2, n/2 + 1/2)/2 y3s =1.2935547796148952674767575125656 y3d =1.293554779614895178241340545355313有序列k a k x =)(，k b k h =)(，（在此0≥k ，b a ≠），求这两个序列的卷积∑=-=kn n k x n h k y 0)()()(。

〖目的〗● 符号离散卷积直接法和变换法。

〖解答〗 （1）直接法syms a b k n x=a^k; h=b^k;w=symsum(subs(h,k,n)*subs(x,k,k-n),n,0,k) %据定义 y1=simple(w) w =piecewise([a = b, b^k + b^k*k], [a <> b, (a*a^k - b*b^k)/(a - b)]) y1 =piecewise([a = b, b^k + b^k*k], [a <> b, (a*a^k - b*b^k)/(a - b)])（2）变换法（复验）syms zX=ztrans(a^k,k,z); H=ztrans(b^k,k,z);y2=iztrans(H*X,z,k) %通过Z 变换及反变换 y2 =piecewise([b <> 0, (a*a^k)/(a - b) - (b*b^k)/(a - b)])〖说明〗● 符号计算不同途径产生的结果在形式上有可能不同，而且往往无法依靠符号计算本身的指令是它们一致。

此时，必须通过手工解决。

15求0,)(>=-ααt Ae t f 的Fourier 变换。

〖目的〗● 符号变量限定性定义的作用。

● fourier 指令的应用。

〖解答〗syms A t wa=sym('a','positive'); f=A*exp(-a*abs(t)); y=fourier(f,t,w) F=simple(y) y =(2*A*a)/(a^2 + w^2)F =(2*A*a)/(a^2 + w^2)17求4633)(23++++=s s s s s F 的Laplace 反变换。

〖解答〗syms s tF=(s+3)/(s^3+3*s^2+6*s+4); f=simple(ilaplace(F,s,t)) f =(3^(1/2)*sin(3^(1/2)*t) - 2*cos(3^(1/2)*t) + 2)/(3*exp(t))19求Tk ke k f )(λ-=的Z 变换表达式。

〖目的〗● 注意：变换中，被变换变量的约定。

〖解答〗syms lambda k T z;f_k=k*exp(-lambda*k*T);F_z=simple(ztrans(f_k,k,z)) F_z =(z*exp(T*lambda))/(z*exp(T*lambda) - 1)^220求方程2,122==+xy y x 的解。

〖目的〗● solve 指令中，被解方程的正确书写，输出量的正确次序。

〖解答〗eq1='x^2+y^2=1'; eq2='x*y=2';[x,y]=solve(eq1,eq2,'x','y') x =(1/2 + (15^(1/2)*i)/2)^(1/2)/2 - (1/2 + (15^(1/2)*i)/2)^(3/2)/2 - (1/2 + (15^(1/2)*i)/2)^(1/2)/2 + (1/2 + (15^(1/2)*i)/2)^(3/2)/2 (1/2 - (15^(1/2)*i)/2)^(1/2)/2 - (1/2 - (15^(1/2)*i)/2)^(3/2)/2 - (1/2 - (15^(1/2)*i)/2)^(1/2)/2 + (1/2 - (15^(1/2)*i)/2)^(3/2)/2 y =(1/2 + (15^(1/2)*i)/2)^(1/2) -(1/2 + (15^(1/2)*i)/2)^(1/2) (1/2 - (15^(1/2)*i)/2)^(1/2) -(1/2 - (15^(1/2)*i)/2)^(1/2)23求微分方程045=+'x y y 的通解，并绘制任意常数为1时解的图形。