a2
2 (ru ) r 2
于是得到：
ru r,t f1 r at f2 r at ***
(3)、u (0, t) 的表达式
由***式得：
f1 at f2 at 0
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
将上式两端对t求导数得：
f1 at f2 at (1)
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
无界域上三维波动方程求解
(一)、三维波动方程定解问题的泊松公式
(二)、泊松公式的物理意义
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、三维波动方程定解问题的泊松公式
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
情形2、r+at≥R,即at≥R-r时，
(r at) 0
而当|r-at|<R时， (r at ) u0
由此得到：当R-r≦at≦R+r时有：
u(r, t ) (r at )u0 2r
情形3、|r-at|≥R,即at≥R-r时，即当at>R+r时有：
2ar rat
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
分析：从初始条件看出，问题是球对称的，因 此，可将其化为一维问题来处理。
证明：在球对称情况下有：
2 (ru) 1 2 ru
r 2
a2 t 2
其通解为：u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
u(r,t) 0
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
对于不具有球对称解的波动方程定解问题，如何求 其定解？
方法是通过讨论波函数的球面平均值具有的性质， 得到自由振动的三维波动方程的定解公式—泊松公式.
2、泊松公式的推导 (1)、波函数的球面平均值 定义：称
解；定解问题为：
utt a2u, t 0, r 0
u
t 0
u0,0
,r R rR
ut t 0 0
这里，r是扰动区域中心到球外任意一点的距离。 这是球对称问题。由例1可以求解。
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1)、若M点在球外，因r≥ R,有 r+at≥R,但r-at就不一 定大于、小于或等于0了。由例1的公式得：
在(6)中令t=0 得：
2
f1
(r)
ru (r,0)
r
1 a
rut (r, 0)
r
r
r
4
r
2
SrM
u(r,0)dS
4 ar2
SrM
ut (r, 0)dS
由初始条件得：
2 f1 (r)
1 (M ) 1 (M )
dS
dS
r 4 SrM r
4 a SrM r
20
1
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
a2
对于
u dS
4
SrM
a2
u dS a2
u dS
4
SrM
4 SrM n
a2
u dS a2r 2
u d
4 SrM r
4 SrM r
a2r 2
1
ud
a2r 2 u (r, t)
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
于是得到球对称通解为：
ru f1(r at) f2 (r at)
即： u(r,t) f1(r at) f2 (r at)
r
这说明，对于具有球对称解的三维无界域上波
动方程定解问题，可以采用先求通解，再求定解的 方法求解。
将初始条件代入得：
f1(r) r
f2 (r)
(r)
af1(r
)
r
af 2(r )
(r)
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
求出其解：
r(r) 1
f1(r)
2
2a
r ( )d C
0
2
f2
(r)
r(r)
2
1 2a
r
( )d
C
0
r 4 SrM
r
*
对于 1
2u dV
4 VrM t 2
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1
4
VrM
2u t 2
dV
2 t 2
1
4
.r
d u(M ,t)dS
.0 S..M
**
于是由*与**得到等式：
2 1
t2 4
.r
d u(M , t)dS
1 (M )
(M )
u(M ,t)
dS
dS
4 a2 t S..aMt t
S..aMt
t
球坐标变换为：
x x (at) sin cos
y
y
(at)
sin
sin
z z (at) cos
(0 2 , 0 )
dS (at)2 sin d d
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：由泊松公式
u(x, y, z,t) 1
4 a
.2 . x y z at sin cos sin sin cos at 2 sin dd
t .0 .0
at
1
[at(x y z)
.2
d
.
sind
4a t
t
ru r,t
f1
r at
f2
r at
(4)
将***两端对r求导得：
r
ru r,t
f1
r at
f2
r at
(5)
由(4)+(5)得：
r
ru (r,t)
1 a
rut
(r,
t
)
2
f1
(r
at)
(6)
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
在上式中令r=at 得：
2 f1 (r)
1 (M ) 1 (M )
dS
dS
4 a2 t SaMt t
4 a2 SaMt
t
所以得到：
u(M ,t) u (0,t) 2)
dS
u (r,t) 1 u(M ,t)dS 1 u(M ,t)d
4 r 2 SrM
4 SrM
为以M (x, y, z)为心，r为半径的球面上的平均值。
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
M´ (x´, y´, z´)是球面上的点。在球坐标下有：
三维空间的自由振动的波动方程定解问题为：
2u
t
2
a2
2u x2
2 y2
2u z 2
,
x,
y,
z
, t
0
u t0 (x, y, z)
u
t
t0
(x, y, z)
求解方法：行波法
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1、球对称解的求法
又对***两端对r求导并令r=0得：
u 0,t f1 (at) f2 at (2)
由(1)与(2)得：
u (0,t) 2 f1 (at) (3)
(4)、泊松公式
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
将***两端对t求导并除以a 得：
1 a
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例3、求定解问题：
uutt
x,
a2u
y, z,0
f
(x, y, z,t),t (x, y, z),
0,
x, x, y, z