正三角形
能
图形
一个顶点周 围正多边形 的个数
6
正方形
能
4
正五边形
不能
正六边形
能
3
还能找到能密铺的其他正多边形吗？
要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这 种正多边形的一个内角的倍数是否是360°， 在正多边形里，正三角形的每个内角都是60°， 正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每 个内角都是120°，这三种多边形的一个内角 的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个 内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边 形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以 密铺，而其他的正多边形不可密铺．
图片欣赏(一)
图片欣赏(二)
图片欣赏(三)
学一学
平面图形的密铺（平面图形的镶嵌）:
用形状和大小完全相同的一种或几种 平面图形进行拼接，彼此之间不留空 隙、不重叠地铺成一片，这就是平面 图形的密铺，又称平面图形的镶嵌.
密铺的两个条件：
1、全等的一种或几种平面图形；
2、无空隙、不重叠铺成一片。
仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须 要求在公共顶点上所有内角和为360度。令正多边形 的边数为n,个数为m,则有
( n 2)180 m 360 n
∴解得
m 6 n 3
m 4 n 4
m 3 n 6
结论1： 可以用同一种正多边形密铺的图形只有 正三角形，正四边形，正六边形. 结论2: 用一种形状、大小完全相同的三角形，四边形 也能进行平面镶嵌
历史资料：
资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。 有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给出 的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰已 经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。
问题探究4： 如果允许用三种正多边形 组合起来镶嵌（讨论顶点与顶 点重合的情况），由哪几种正 多边形组合起来能镶嵌成一个 平面？
探究活动（二）
用同一种四边形可以密吗？
正方形的平面镶嵌
90°
结论： 形状、大小相同的任意四边形 能镶嵌成平面图形
★通过探究我发现：
可以 密铺. 1.任意全等的四边形_____
四 四 个角，而这___ 2.在每个拼接点处有___ 个角的和恰好是这个四边形的四个内 和 也就是它们的和为____. 360º 角之___,
A、3 B、 4 C、5 D、6
探究活动(四)
----创意空间
用同一种平面图形如果 不能密铺,用两种或者两 种以上平面图形能不能 密铺呢?
m 3 60m 90n 360 n 2
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正 方形的角，
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
谢谢！
资料2：石子路镶嵌图案最多的图林 在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石 子砌成的各种美丽图案的花石子路，据统计全园花 石子路上的图案约有900幅，可以说是中国拥有石 子路镶嵌图案最多的图林了。这些石子路图案的组 成，是把全园作为一个整体来考虑设计的，因此显 得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的面 貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、 博古等，种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄 对刀”、“鹤鹿同春”等图案，造型优美，动态活 泼、构图别致，色彩分明，沿路观赏，美不胜收。
探究
哪些图形可以密铺， 哪些图形不可以密铺？
探究活动（一）
用形状、大小完全相同的 三角形能否密铺？
正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60° 60° 60° 60°
接点处的六个 角和为360°
结论： 形状、大小完全相同的任意 三角形能镶嵌成平面图形。
通过探究我发现：
可以 密铺, 1.任意全等的三角形都______ 六 六 个角，而这___ 2.在每个拼接点处有___ 个角的和恰好是这个三角形的内角和 o ， 的 ____ 两___倍，也就是它们的和为 360
正多边形可以密铺的条件：
o 每个内角都能被360 整除。
1、下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是（ D ）
A、三角形
B、正方形
C、任意四边形
D、正八边形
2、用正方形一种图形进行平面镶嵌时，在它的一个顶点周围的 正方形的个数是（ B ）
A、 3
B 、4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C、 5
D 、6
3、如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的 每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（ A ）
通过这堂课的学习，你有什么收获和发现？ 发现一: 同一种正多边形进行平面镶嵌的图形只有三种:正三角形、 正方形、正六边形 发现二: 用一种形状、大小完全相同的三角形，四边形也能进行 平面镶嵌 发现三： 多边形能进行平面镶嵌的条件：1、拼接在同一点的各 个角的度数和是360°；2、相邻的多边形有公共边。
结论
1
能密铺的图形在一个拼接 点处的特点：
1.各角之和等于360º , 2.相等的边互相重合。
探究活动（三）
1.正五边形能密铺吗？说说理由。 2.正六边形能密铺吗？说说理由。 3.还能找到能密铺的其他图形吗？
做一做
正五边形可以密铺吗？
1 3 2
正六边形可以密铺吗？
正六边形的平面镶嵌
能否 平面 镶嵌
则记作（3，3，3，4，4）
设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正 六边形的角.
m 4 m 2 60m 120n 360 , n 1 n 2
（3，3， 3， 3，6）
（3，3，6，6）
图案（Ⅰ）
图案（Ⅱ）
60°
60°
每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.