2017浙江一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q ＝( ) A ．(－1，2) B ．(0，1) C ．(－1，0) D ．(1，2) 【解析】利用数轴，取P ，Q 所有元素，得P ∪Q ＝(－1，2)．2．椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是A ．133B ．53C ．23D ．59解析 根据题意知，a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝5，故椭圆的离心率e ＝c a ＝53，故选B ．3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3【解析】由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A ．V ＝134．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，故z 2是直线y ＝－12x ＋z2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2，1)，此时，z ＝4，故z ≥4，故选D ．5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关【解析】f (x )＝(x ＋a 2)2－a 24＋b ，①．当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f (－a 2)＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a＋b }，故M －m ＝max{a 24，1＋a ＋a 24}与a 有关，与b 无关；②．当－a2＜0时，f (x )在[0，1]上单调递增，故M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③．当－a2＞1时，f (x )在[0，1]上单调递减，故M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B ．6．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】因为{a n }为等差数列，故S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，故d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5，故选C ．7．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则函数y ＝f (x )的图像可能是 ( )【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D ．8．已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1，2．若0＜p 1＜p 2＜12，则( )A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2) D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)【解析】由题设可知E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，从而E (ξ1)＜E (ξ2)，又D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)，故D (ξ1)－D (ξ2)＝(p 1－p 2)(1－p 1－p 2)＜0．故D (ξ1)＜D (ξ2)．9．如图，已知正四面体D –ABC (所有棱长均相等的三棱锥)，P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP ＝PB ，BQ QC ＝CRRA ＝2，分别记二面角D －PR －Q ，D －PQ －R ，D －QR －P 的平面角为α，β，γ，则 ( )A ．γ＜α＜βB ．α＜γ＜βC ．α＜β＜γD ．β＜γ＜α 【解析】设O 为ΔABC 的中心，则点O 到PQ 的距离最小，O 到PR 的距离最大，O 到RQ 的距离最居中，而高相等，故α＜γ＜β，故选B ． 解析如图1，设O 是点D 在底面ABC 内的射影，过O 作OE ⊥PR ，OF ⊥PQ ，OG ⊥RQ ，垂足分别为E ，F ，G ，连接ED ，FD ，GD ，易得ED ⊥PR ，故∠OED 就是二面角D －PR －Q 的平面角，故α＝∠OED ，tan α＝OD OE ，同理tan β＝OD OF ，tan γ＝ODOG.底面的平面图如图2所示，以P 为原点建立平面直角坐标系，不妨设|AB |＝2，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，3)，O (0，33)，因|AP |＝|PB |，|BQ ||QC |＝|CR ||RA |＝2，故Q (13，233)，R (－23，33)，则直线RP 的方程为y ＝－32x ，直线PQ 的方程为y ＝23x ，直线RQ 的方程为y ＝33x ＋539，根据点到直线的距离公式，知|OE |＝22121，|OF |＝3939，|OG |＝13，故|OE |＞|OG |＞|OF |，故tan α＜tan γ＜tan β，又α，β，γ为锐角，故α＜γ＜β，故选B ．10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO ＜AF ，而∠AFB ＝90°，故∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB ＜0，故I 1＜I 2，同理I 2＞I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，故OB ＜BG ＝GD ＜OD ，而OA ＜AF ＝FC ＜OC ，故|OA →||OB →|＜|OC →||OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD ＜0，故OA →·OB →＞OC →·OD →，即I 1＞I 3．故I 3＜I 1＜I 2．法二：如图，建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (0，2)，C (2，0)．设D (m ，n )，由AD ＝2和CD ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋(n －2)2＝4，(m －2)2＋n 2＝9，从而有n －m ＝54＞0，∴n ＞m .从而∠DBC ＞45°，又∠BCO ＝45°，∴∠BOC 为锐角．从而∠AOB 为钝角．故I 1＜0，I 3＜0，I 2＞0.又OA ＜OC ，OB ＜OD ，故可设OD ―→＝－λ1OB ―→ (λ1＞1)，OC ―→＝－λ2OA ―→ (λ2＞1)，从而I 3＝OC ―→·OD ―→＝λ1λ2OA ―→·OB ―→＝λ1λ2I 1，又λ1λ2＞1，I 1＜0，I 3＜0，∴I 3＜I 1，∴I 3＜I 1＜I 2.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 内，S 内＝ ．【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则S 内＝6(12×1×1×sin π3)＝332．12．已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝ ，ab ＝ ．解析 由已知(a ＋b i)2＝3＋4i ．即a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ．从而有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则a 2＋b 2＝5，ab ＝2．13．已知多项式(x ＋1)(x ＋2)2＝x 3＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝_______，a 5＝________．解析 令x ＝0，得a 5＝(0＋1)3(0＋2)2＝4，而(x ＋1)3(x ＋2)2＝(x ＋1)3[(x ＋1)2＋2(x ＋1)＋1]＝(x ＋1)5＋2(x ＋1)4＋(x ＋1)3；则a 4＝C 45＋2C 34＋C 23＝5＋8＋3＝16．14．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2． 点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC ＝_______．【解析】依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC ．由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14．故S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152．因为cos ∠DBC＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，故CD ＝10．由余弦定理得，cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104．15．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是_______．【解析】由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ)．令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝（2＋cos θ）2＋sin 2θ＋（cos θ－2）2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，则y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20]．由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是25．16．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______中不同的选法．(用数字作答) 66017．已知a ∈R ，函数f (x )＝| x ＋4x －a |＋a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是_____．【解析】因x ∈[1，4]，故x ＋4x∈[4，5]，② 当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a ＞92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，故a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是(－∞，92]．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f (2π3)的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解】(1)f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x ＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin(2x ＋π6)，则f (2π3)＝－2sin(4π3＋π6)＝2． (2)f (x )的最小正周期为π．由正弦函数的性质得令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ．故函数f (x )的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z ．19．(本题满分15分)如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点．(Ⅰ)证明：CE ∥平面PAB ；(Ⅱ)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．【解析】(Ⅰ)如图，设PA 中点为F ，连结EF ，FB ．因E ，F 分别为PD ，PA 中点，故EF ∥AD 且EF＝12AD ，又BC ∥AD ，BC ＝12AD ，故EF ∥BC 且EF ＝BC ，即四边形BCEF 为平行四边形，故CE ∥BF ，因此CE ∥平面PAB ． F H Q P A D E P A D E⑵．分别取BC ，AD 的中点M ，N ．连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ ．因E ，F ，N 分别为PD ，PA ，AD 的中点，故Q 为EF 的中点，在平行四边形BCEF 中，MQ ∥CE ，由ΔPAD 为等腰三角形得，PN ⊥AD ．由DC ⊥AD ，N 为AD 的中点得，BN ⊥AD ．故AD ⊥面BNP ，由BC ∥AD 得，BC ⊥面BNP ，故面BCP ⊥面BNP ，过点Q 作BP 的垂线，垂足为H ，连结HM ，HM 为MQ 在面BCP 上的射影，故∠HMQ 为CE 与平面BCP 所成的角．设CD ＝1．在△PCD 中，由PC ＝2，CD ＝1，PD ＝2得CE ＝2，在△PBN中，由PN ＝BN ＝1，PB ＝3得QH ＝14，在Rt △MQH 中，QH ＝14，MQ ＝2，故sin ∠QMH ＝28，故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28．法二 过P 作PH ⊥CD ，交CD 的延长线于点H ．不妨设AD ＝2，∵BC ∥AD ，CD ⊥AD ，则易求DH ＝12，过P 作底面的垂线，垂足为O ，连接OB ，OH ，易得OH ∥BC ，且OP ，OB ，OH 两两垂直．故可以O 为原点，以OH ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．(1)证明 由PC ＝AD ＝2DC ＝2CB ，E 为PD 的中点，则可得：D (－1，12，0)，C (－1，32，0)，P (0，0，32)，A (1，12，0)，B (0，32，0)，E (－12，14，34)，则CE →＝(12，－54，34)，P A →＝(1，12，－32)，PB →＝(0，32，－32)．设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·P A →＝x ＋12y －32z ＝0，n ·PB →＝32y －32z ＝0.令y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，z ＝3，故n ＝(1，1，3)，故CE →·n ＝12×1＋(－54)×1＋34×3＝0．又CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB ．(2)解 由(1)得PC →＝(－1，32，－32)．设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·PB →＝32y －32z ＝0，m ·PC →＝－x ＋32y －32z ＝0.令y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，z ＝3，故m ＝(0，1，3)．设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，CE →〉|＝|m ·CE →||m ||CE →|＝124×2＝28．故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为28． 20．(本题满分15分)已知函数f (x )＝(x －2x －1)e －x (x ≥12)．(1)求f (x )的导函数；(2)求f (x )在区间[12，＋∞)上的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝(x －2x －1)′e －x ＋(x －2x －1)(e －x )′＝(1－12x －1)e －x －(x －2x －1)e －x ＝(1－x ＋2x －1－12x －1)e －x＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x －1e －x(x ＞12)． (2)令f ′(x )＝0，解得x ＝1或52．当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化如下表：x 12 (12，1) 1 (1，52)52 (52，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )12e12e －52又f (12)＝12e ，f (1)＝0，f (52)＝12e －52，则f (x )在区间[12，＋∞)上的最大值为12e．又f (x )＝(x －2x －1)e－x＝12(2x －1－1)2e －x ≥0．综上，f (x )在区间[12，＋∞)上的取值范围是[0，12e]． 21．(本题满分15分)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A (－12，14)，B (32，94)，抛物线上的点P (x ，y )(－12＜x ＜32)．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．【解析】(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12，因－12＜x ＜32，故直线AP 斜率的取值范围是(－1，1)．(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32（k 2＋1）．因|P A |＝ 1＋k 2(x ＋12)＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝ 1＋k 2(x Q －x )＝－（k －1）（k ＋1）2k 2＋1，故|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3．令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3，因f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，故f (k )在区间(－1，12)上单调递增，(12，1)上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716．22．(本题满分15分)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N *)．证明：当n ∈N *时， ⑴．0＜x n ＋1＜x n ；⑵．2x n ＋1− x n ≤12x n x n ＋1；⑶．12n －1≤x n ≤12n －2．【解析】⑴．用数学归纳法证明：x n ＞0(n ∈N *)． 当n ＝1时，x 1＝1＞0；假设当n ＝k 时，x k ＞0，那么当n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0．因此x n ＞0(n ∈N *)，故x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1，故0＜x n ＋1＜x n (n ∈N *)； ⑵．由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1得，x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)，记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0)，函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，故x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0，2x n ＋1－x n ＝12x n x n ＋1(n ∈N *)；⑶．因x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1，故x n ≥12n －1得，12x n x n ＋1≥2x n ＋1－x n ，1x n ＋1－12≥2(1x n －12)＞0，1x n －12≥2⎝⎛⎭⎫1x n －1－12≥…2n －1(1x 1－12)＝2n －2，故x n ≤12n －2，故12n －1≤x n ≤12n －2(n ∈N *)． 证明 (1)用数学归纳法证明：x n ＞0． 当n ＝1时，x 1＝1＞0．假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，x k ＞0，那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0，因此x n ＞0(n ∈N *)．所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1，因此0＜x n ＋1＜x n (x ∈N *)．(2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得，x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)．记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0)．f ′(x )＝2x 2＋xx ＋1＋ln(1＋x )＞0(x ＞0)，函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0，因此x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0，故2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12(n ∈N *)． (3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1，所以x n ≥12x n －1≥122x n －2≥…≥12n －1x 1＝12n －1．故x n ≥12n －1．由x n x n ＋12≥2x n ＋1－x n 得1x n ＋1－12≥2(1x n －12)＞0，所以1x n －12≥2⎝⎛⎭⎫1x n －1－12≥…≥2n －1(1x 1－12)＝2n －2，故x n ≤12n －2．综上，12n －1≤x n ≤12n －2(n ∈N *)．已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8．解：由柯西不等式可得：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，故(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8．。