2017年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2017年浙江，1，4分】已知{|11}P x x =-<<，{20}Q x =-<<，则P Q =U （ ）（A ）(2,1)- （B ）(1,0)- （C ）(0,1) （D ）(2,1)-- 【答案】A【解析】取,P Q 所有元素，得P Q =U (2,1)-，故选A ．【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力．（2）【2017年浙江，2，4分】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）（A ）13 （B ）5 （C ）23 （D ）59【答案】B【解析】945e -==，故选B ． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． （3）【2017年浙江，3，4分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）（A ）12π+ （B ）32π+（C ）312π+ （D ）332π+【答案】A 【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为2111π3(21)13222V π⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目．（4）【2017年浙江，4，4分】若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）（A ）[]0,6 （B ）[]0,4（C ）[]6,+∞ （D ）[]4,+∞【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点()2,1时取最小值4，无最大值，故选D ．【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．（5）【2017年浙江，5，4分】若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则–M m （ ） （A ）与a 有关，且与b 有关 （B ）与a 有关，但与b 无关（C ）与a 无关，且与b 无关 （D ）与a 无关，但与b 有关 【答案】B【解析】解法一：因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，故选B ．解法二：函数()2f x x ax b =++的图象是开口朝上且以直线2a x =-为对称轴的抛物线，①当12a->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()10M m f f a -=-=，故M m -的值与a 有关，与b 无关；②当1122a ≤-≤，即21a -≤≤-时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且()()01f f >，此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关；③当1022a ≤-<，即10a -<≤时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，且()()01f f <，此时()2024a a M m f f a ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关．综上可得：M m -的值与a 有关，与b 无关，故选B ．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． （6）【2017年浙江，6，4分】已知等差数列[]n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由()46511210212510S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“0d >”是“4652S S S +>”的充要条件，故选C ．【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题． （7）【2017年浙江，7，4分】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ） 【答案】D 【解析】解法一：由当()0f x '<时，函数f x （）单调递减，当()0f x '>时，函数f x （）单调递增，则由导函数()y f x =' 的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A ，C ，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B ，，故选D ．解法二：原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，故选D ．【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题．（8）【2017年浙江，8，4分】已知随机变量1ξ满足()11i P p ξ==，()101i P p ξ==-，1,2i =．若12102p p <<<，则（ ）（A ）12E()E()ξξ<，12D()D()ξξ<（B ）12E()E()ξξ<，12D()D()ξξ>（C ）12E()E()ξξ>，12D()D()ξξ< （D ）12E()E()ξξ>，12D()D()ξξ< 【答案】A【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<Q 111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-Q ，121212()()()(1)0D D p p p p ξξ∴-=---<，故选A ．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（9）【2017年浙江，9，4分】如图，已知正四面体–D ABC （所有棱长均相等的三棱锥），PQR分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角––D PR Q ，––D PQ R ，––D QR P 的平面较为α，β，γ，则（ ）（A ）γαβ<< （B ）αγβ<< （C ）αβγ<< （D ）βγα<< 【答案】B【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面ABC ∆的中心为O ．不妨设3OP =．则()0,0,0O ，()0,3,0P -，()0,6,0C -，()0,0,62D ，()3,2,0Q ，()23,0,0R -， ()23,3,0PR =-u u u r ，()0,3,62PD =u u u r ，()3,5,0PQ =u u u r ，()33,2,0QR =--，()3,2,62QD =--u u u r ．设平面PDR 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n PR n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u rr u u u r，可得 23303620x y y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，可得()6,22,1n =-r ，取平面ABC 的法向量()0,0,1m =u r ． 则cos ,15m n m n m n⋅==-u r ru r r u r r ，取arccos 15α=．同理可得：arccos 681β=． 2arccos95γ=．∵21595681>>．∴αγβ<<．解法二：如图所示，连接OD OQ OR ，，，过点O 发布作垂线：OE DR ⊥，OF DQ ⊥，OG QR ⊥，垂足分别为E F G ，，，连接PE PF PG ，，．设OP h =．则cos ODR PDR S OES PE α∆∆==22OE h =+．同理可得：22cos OF PF OF h β==+c ，22cos OG PG OG hγ==+．由已知可得：OE OG OF >>．∴cos cos cos αγβ>>，αβγ，，为锐角．∴α＜γ＜β，故选B ．【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（10）【2017年浙江，10，4分】如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ＝＝＝，3CD ＝，AC 与BD 交于点O ，记1·I OA OB u u u r u u u r ＝，2·I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r ＝，则（ ） （A ）123I I I << （B ）132I I I << （C ）312I I I << （D ）223I I I <<【答案】C【解析】∵AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，∴22AC =，∴90AOB COD ∠=∠>︒，由图象知OA OC <，OB OD <，∴0OA OB OC OD >⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，0OB OC ⋅>u u u r u u u r，即312I I I <<，故选C ．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（11）【2017年浙江，11，4分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 内，S =内 ． 【答案】33【解析】如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF 中，AOB ∆是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF 的面积为133=611sin 602S ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭o 内． 【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题．（12）【2017年浙江，12，6分】已知ab ∈R ，2i 34i a b +=+（）（i 是虚数单位）则22a b += ，ab = ． 【答案】5；2【解析】由题意可得222i 34i a b ab -+=+，则2232a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，则225,2a b ab +==．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．（13）【2017年浙江，13，6分】已知多项式()()12543211234512x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a = ，5a = ．【答案】16；4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：32r r m mC x C x ，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，令0x =可得325124a =⨯=．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题．（14）【2017年浙江，14，6分】已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =． 点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则BDC ∆的面积是 ；cos BDC ∠= ．【答案】15；10【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，ABE ∆中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1115cos ,sin 1416DBC DBC ∴∠=-∠=-=，BC 115sin 2D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△．又2110cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，10cos sin BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，BCD ∆面积为15，10cos BDC ∠=．【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题． （15）【2017年浙江，15，6分】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是 __；最大值是 __． 【答案】4；25【解析】解法一：设向量a r 和b r 的夹角为θ，由余弦定理有2212212cos 54cos a b θθ-=+-⨯⨯⨯=-r r，()2212212cos 54cos a b πθθ+=+-⨯⨯⨯-=+r r ，则54cos 54cos a b a b θθ++-=++-r r r r ，令54cos 54cos y θθ=++-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈，据此可得：()maxa b a b ++-r r r r2025==，()min164a b a b ++-==r r r r ，即a b a b ++-r r r r的最小值为4，最大值为25． 解法二记AOB α∠=，则0απ≤≤，如图，由余弦定理可得：54cos a b θ-=-r r， 54cos a b θ+=+r r，令54cos x θ=-，54cos y θ=+，则()2210,1x y x y +=≥，其图象为一段圆弧MN ，如图，令z x y =+，则y x z =-+，则直线y x z =-+过M 、N 时z 最小为13314min z =+=+=，当直线y x z =-+与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几 何知识易知max z 即为原点到切线的距离的2倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的2倍，所以21025max z =⨯=．综上所述，a b a b ++-r r r r的最小值为4，最大值为25．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．（16）【2017年浙江，16，4分】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 中不同的选法．（用数字作答） 【答案】660【解析】解法一：由题意可得：“从8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队”中的选择方法为：411843C C C ⨯⨯种方法，其中“服务队中没有女生”的选法有411643C C C ⨯⨯种方法，则满足题意的选法有：411411843643660C C C C C C ⨯⨯-⨯⨯=种． 解法二：第一类，先选1女3男，有316240C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种，故有4012480⨯=种，第二类，先选2女2男，有226215C C =种，这4人选2人作为队长和副队有2412A =种， 故有1512180⨯=种，根据分类计数原理共有480180660+=种，故答案为：660．【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题．（17）【2017年浙江，17，4分】已知α∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值是5，则a 的取值 范围是 ．【答案】9(,]2-∞【解析】[][]41,4,4,5x x x ∈+∈，分类讨论：①当5a ≥时，()442f x a x a a x x x =--+=--，函数的最大值245a -=，92a ∴=，舍去；②当4a ≤时，()445f x x a a x x x =+-+=+≤，此时命题成立；③当45a <<时，(){}maxmax 4,5f x a a a a =-+-+⎡⎤⎣⎦，则：4545a a a a a a ⎧-+≥-+⎪⎨-+=⎪⎩或：4555a a a aa a ⎧-+<-+⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：92a =或92a <，综上可得，实数a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（18）【2017年浙江，18，14分】已知函数()22sin cos 23sin cos fx x x x x x =--∈R （）． （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．解：（1）()22πsin cos 23sin cos cos 23sin 22sin 26f x x x x x x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪⎝⎭，4ππsin 232236f π⎛⎫+=⎪⎝⎛⎫=- ⎪⎭⎭⎝． （2）由()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为π．令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，k Z ∈，得ππππ36k x k -≤≤+，k Z ∈，函数()f x 的单调递增区间为ππππ.36k k k Z ，，⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档． （19）【2017年浙江，19，15分】如图，已知四棱锥–P ABCD ，PAD ∆是以AD 为斜边的等腰直角三角形，//BC AD ，CD AD ⊥，22PC AD DC CB ===，E 为PD 的中点． （1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 解：解法一：（1）取AD 的中点F ，连接EF ，CF ，∵E 为PD 的重点，∴//EF PA ，在四边形ABCD 中，//BC AD ，22AD DC CB ==，F 为中点易得//CF AB ，∴平面//EFC 平面ABP ， EC ⊂Q 平面EFC ，//EC ∴平面PAB ．（2）连结BF ，过F 作FM PB ⊥与M ，连结PF ，因为PA PD =，所以PF AD ⊥，易知四边形BCDF 为矩形，所以BF AD ⊥，所以AD ⊥平面PBF ，又//AD BC ， 所以BC ⊥平面PBF ，所以BC PB ⊥，设1DC CB ==，则2AD PC ==，所以2PB =，1BF PF ==，所以12MF =，又BC ⊥平面PBF ，所以BC MF ⊥，所以MF ⊥平面PBC ，即点F 到平面PBC 的距离为12，也即点D 到平面PBC 的距离为12，因为E 为 PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离为14，在PCD ∆中，2PC =，1CD =，2PD =，由余弦定理可得2CE =，设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则124sin =CE θ=．解法二：（1）略；构造平行四边形．（2）过P 作PH CD ⊥，交CD 的延长线于点H 在Rt PDH V 中，设DH x =，则易知2222(2)(1)2x x -++=（Rt PCH V ），解得12DH =，过H 作BC 的平行线，取 1DH BC ==，由题易得3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，30,0,P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 113,,42E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则513(,,)42CE =--u u u r ，33(,0,)2PB =-u u u r ，(0,1,0)BC =u u u r ， 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则33020n PB x z n BC y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩r u u u r r u u u r ，令1x =，则3t =，故(1,0,3)n =r ， 设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则531|3|2442sin =|cos <,n|=251322216416CE θθ-+⨯==++⨯u u u r r故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为2． 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（20）【2017年浙江，20，15分】已知函数()()1212x f x x x e x -⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的导函数；（2）求()f x 在区间1[+)2∞，上的取值范围．解：（1）()()()12112111212121x xx x f x e x x e x x e x e x x x ----⎛⎛⎫⎛'=----=--+-=-- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎝⎭． （2）令()21g x x x =--，则()121g x x '=--，当112x ≤<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则()g x在1x =处取得最小值，既最小值为0，又0x e ->，则()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为0．当x 变化时，()f x ，()f x '的变化如下表：x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1 51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 52 5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ' - 0 + 0 - ()f x↘↗↘又21122f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，25122f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最大值为212e -．综上，()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的取值范围是1210,2e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦．．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．（21）【2017年浙江，21，15分】如图，已知抛物线2x y =，点11,24A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，39,24B ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线上的点()1124P x y x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）求AP PQ ⋅的最大值．解：（1）由题易得()2,P x x ，1322x -<<，故()21141,1122AP x K x x -==-∈-+，故直线AP 斜率的取值范围为()1,1-． （2）由（1）知()2,P x x ，1322x -<<，所以211,24PA x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u r ，设直线AP 的斜率为k ，则11:24AP y kx k =++， 139:24BP y x k k =-++，联立直线AP 、BP 方程可知222234981,2244k k k k Q k k ⎛⎫+-++ ⎪++⎝⎭， 故23432221,11k k k k k k k PQ k k ⎛⎫+----++= ⎪++⎝⎭u u u r ，又因为()21,PA k k k =----u u u r， 故()()()()()()33232211111111k k k k k PA PQ PA PQ k k k k +-+--⋅=⋅=+=+-++u u u r u u u r ， 所以()()311PA PQ k k ⋅=+-，令()()()311f x x x =+-，11x -<<，则()()()()()221242121f x x x x x '=+-=-+-，由于当112x -<<-时()0f x '>，当112x <<时()0f x '<，故()max 127216f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即PA PQ ⋅的最大值为2716． 【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题． （22）【2017年浙江，22，15分】已知数列{}n x 满足：11x =，()()11ln 1*n n n x x x n N ++=++∈．证明：当*n N ∈时，（1）10n n x x +＜＜；（2）1122n n n n x x x x++-≤；（3）121122n n n x ++≤≤．解：（1）令函数()ln(1)f x x x =++，则易得()f x 在[0,)+∞上为增函数．又1()n n x f x +=，若0n x >⇒1()(0)0n f x f +>=恒成立10n x +⇒>，又由11ln(1)n n n x x x ++=++可知0n x >，由111111ln(1)ln(1)0n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-=++-=+>⇒>．所以10n n x x +<<．（2）令()()()()22ln 1ln 1ln 1222x x x g x x x x x x x +=++--+=++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，0x >，则()()()()()()()121111ln 11ln 1ln 12212212212x x g x x x x x x x x x x +'=+++-=+-+=+++-+++， 令()()()111ln 12212h x x x x =+++-+，则()()()()2221125210212121x x h x x x x ++'=-+=>+++， 所以()h x 单调递增．所以()()00h x h >=，即()0g x '>，()g x 单调递增．所以()()00g x g >=⇒()()ln 1ln 12xx x x x ++>-+⎡⎤⎣⎦， 所以()()11111112ln 1ln 122n n n n n n n n n x x x x x x x x x +++++++⎡⎤-=-+≤++=⎣⎦，1122n n n n x xx x ++-≤． （3）11112111212222n n n n n n n n x x x x x x x x ++++-≤⇒-≤⇒≥-，即121111222n n n n n x x +++≥-⇒递推得 12+11111(1)11111182122224212n n n k n k n x x -+=-≥-=-=+⇒-∑2211(2)1222n n n x n --≤≤≥+．由11x =知21(N*)2n n x n -≤∈，又由()ln(1)0h x x x =-+>可知112()()0n n n x x h x h x ++-=>=．即11111112(N*)222n n n n n n n n x x x x x x n ++-->⇒>⇒≥=∈．综上可知，121122n n n x --≤≤． 【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题．。