那么称这两个集合 “保序同构” ，以下集合对不是“保序 同构”的是（ ）
A. A N *, B N B. A x 1 x 3, B x x 8或0 x 10 C. A x 0 x 1, B R D. A Z , B Q
【2012 高考真题湖北理 7】定义在 ( , 0) (0, ) 上 的函数 f ( x ) ，如果对于任意给定的等比数列 {an } ，
破解秘籍：在原来基础知识之上，脱离原来知识的限制，要按新定义的规定做题
（2011 年高考四川卷理科 16） 函数 f ( x ) 的定义域为 A， 若 x1 , x2 A 且 f ( x1 ) f ( x2 ) 时总有 x1 x2 则称 f ( x ) 为单函数.例如，函数
f ( x ) 2 x 1( x R ) 是单函数.下列命题：
）
b0
bb
a
C.对任意的 R ，有 ( a) D. (a
b (a
2
b)
b)2 (ab)2 a b
2
（2009· 浙江理 10）对于正实数 ，记 M 为满足下述条件 的函数 f ( x ) 构成的集合： x1 , x2 R 且 x2 x1 ，有
( x2 x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) ．下列结论
题型透析
题型特点
新颖、信息丰富、能较好地考查学生分析问题，解决问题的能力，有些同学遇 “新”而害怕，而新课程理念要求在掌握知识和技能之外，更加注重思维灵活性 和发散性及信息迁移能力的培养
答题瓶颈
考生答题瓶颈
破解技巧
题型题眼
给出现概念、新定义、新性质、新形式等
通性通法
直接法： （1）三步骤： 提取 -----确定解题的方向 加工------探求解题方法 输出------转换进而解题 （2）三策略： 紧扣定义，抓住本质---定义是关键（隐含的条件或特殊情形） 分层递进，各个击破
{ f (an )} 仍是等比数列，则称 f ( x ) 为“保等比数列
函数”. 现有定义在 ( , 0) (0, ) 上的如下函数： ① ③
f ( x) x2 ；
f ( x) x ；
② f ( x) 2 ；
x
④ f ( x) ln x .
则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 A.①② B．③④ C．①③ D．②④
备考指津
随着高考改革的不断深入推进，高考试题在取之于教材的同 时，也不断的延伸，新定义问题每年都成为热点问题，一定要
2 2
则 x R 若函数 y f ( x) c 的图像与 x 轴恰有两个公共点， 实数 c 的取值范围是（
3 2
）
A． ( , 2] ( 1,
)
B． ( , 2] ( 1,
3 4
)
C． ( ,
1
1 ) ( , ) 4 4
D. ( 1,
②若 a 0, b 0 ，则 ln ab ln a ln b ； ③若 a 0, b 0 ，则 ln

a ln a ln b b
④若 a 0, b 0 ， 则 ln a b ln a ln b ln 2
确的是（ ） A . ( y, z, w ) S , ( x, y, w ) S B． ( y , z , w ) S , ( x , y , w ) S C． ( y , z , w ) S , ( x , y , w ) S D． ( y , z , w ) S , ( x , y , w ) S
另辟蹊径： 【解析】 特殊值法， 不妨令 x 2 ，y 3 ，z 4 ，w 1 ， 则 ( y, z, w ) (3,4,1) S ， ( x, y, w ) (2, 3,1) S ，故选 B．
x y z, y z x, z x y 恰有一个成立} 若 ( x , y , z ) 和 ( z , w , x ) 都在 S 中,则下列选项正
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玩转新定义问题(下)
讲师：张芙华
题型透析
题型特点
新颖、信息丰富、能较好地考查学生分析问题，解决问题的能力，有些同学遇 “新”而害怕，而新课程理念要求在掌握知识和技能之外，更加注重思维灵活性 和发散性及信息迁移能力的培养
题型突破
题型二
“狐假虎威+醉翁之意不在酒”题型解题传播
【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C上的点到 直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离， 已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲 线C2：x2+(y+4)2=2到直线l：y=x的距离，则实数 a=_______.
（2013· 陕西理 10）设[x]表示不大于 x 的最大 整数，则对任意实数 x，y，有 （ A．[-x]＝-[x] C．[x＋y] ≤ [x]＋[y] B．[2x]＝2[x] D．[x－y] ≤ [x]－[y] ）
破解秘籍：理解定义，特值，高斯函数 （高等数学），13年陕西和湖北都涉及 此类问题
f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实 数根 x1，x2，x3，则 x1x2x3 的取值范围 是 .
解题思路：一轮中第十四至十六讲
（2011 年高考天津卷理科 8） 对实数 a 与 b， 定义新运算 “” ：
ab

a , a b 1, b , a b 1.
设 函 数
f ( x ) ( x 2) ( x x ),
（2012· 广东卷）对任意两个非零的平面向量 α α· β 和 β，定义 α·β＝ .若平面向量 a，b 满足 β· β π 0， ，且 a· b |a|≥|b|>0，a 与 b 的夹角 θ∈ 4
n 中， n ∈ Z 和 b·a 都在集合 2 则 a· b＝ （ ）
破解秘籍：假象造成考生恐惧感；实质 考察点到直线的距离；通过现象抓本质
【2012 高考真题福建理 15】对于实数 a 和 b，
a 2 ab , a b 定义运算“﹡” ：ab 2 ， 设 b ab , a b
f ( x ) (2 x 1) ( x 1) ，且关于 x 的方程为
1 ) [ , ) 4 4
3
题型三
搞乱思维题型解题传播
（2013· 山东理 16） 定义 “正对数” ： ln x
0, 0 x 1 ， ln x , x 1
现有四个命题：
b ①若 a 0, b 0 ，则 ln a b ln a ；

题型突破
题型一
创新题解题技巧传播
（2013· 福建理 10）设 S , T 是 R 的两个非空子集，如果存 在一个从 S 到 T 的函数 y f ( x) 满足：(i ) T f ( x) x S ；
(ii ) 对任意 x1 , x2 S ，当 x1 x2 时，恒有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，
A. C.
1 2 3 2
B． 1 D. 5 2
破题秘籍：新定义理解，向量数量 积，知识迁移
（2010 山东理数） （12）定义平面向量之间的一种运算 “ ”如下，对任意的 a (m, n) ， b ( p, q) ，令
a
b mq np ，下面说法错误的是（
A.若 a 与 b 共线，则 a B. a
中正确的是（ ）
A．若 f ( x ) M 1 ， g( x ) M 2 ，则 f ( x ) g( x ) M 1 2 B．若 f ( x ) M 1 ， g( x ) M 2 ，且 g ( x ) 0 ，则
f ( x) g( x )
M1
2
C．若 f ( x ) M 1 ， g( x ) M 2 ，则 f ( x ) g( x ) M 1 2 D．若 f ( x ) M 1 ， g( x ) M 2 ，且 1
2015高考数学-玩转集合新定义问题
真题展示
（2013· 广东理 8）设整数 n ≥ 4，集合 X={1，2，3，…，n}.令集合
S x , y , z | x , y , z X , 且三条件x y z , y z x , z x y恰有一个成立
若（x，y，z）和（z，w，x）都在 S 中，则下列选项正确的是（）
C． ( y , z , w ) S , ( x , y , w ) S D． ( y , z , w ) S , ( x , y , w ) S
）
（2013· 广东理 8） 设整数 n 4 ，集合 X {1, 2, 3, , n} . 令集合 S {( x , y , z ) x , y, z X 且三个条件
2 ，则
f ( x ) g( x ) M 1 2
（2013· 广东理 8）设整数 n 4 ，集合 X {1, 2, 3, , n} .令集合 S {( x , y , z ) x , y, z X 且三个条件
x y z, y z x, z x y 恰有一个成立}若 ( x , y , z ) 和 ( z , w , x ) 都在 S 中,则下列选项正确的是（ A . ( y, z, w ) S , ( x, y, w ) S B． ( y , z , w ) S , ( x , y , w ) S
①函数 f ( x ) x ( x R) 是单函数； x1 , x2 A 且 x1
x2 ，则 f ( x1 ) f ( x2 )
③若 f：A B 为单函数，则对于任意 b B，它至多有一个原象； ④函数 f ( x ) 在某区间上具有单调性，则 f ( x ) 一定是单函数. 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）