第二章
点集简介
§1.度量空间，n维欧氏空间 §2.聚点，内点，界点 §3.开集，闭集，完备集 §4.直线上的开集，闭集， 完备集的构造
引言
第一章叙述了集合的概念及其运算， 第一章叙述了集合的概念及其运算， 集合的概念及其运算
那里的集合只提到其中的元素，以及元素的 那里的集合只提到其中的元素，
个数（有限，可数无限，不可数无限等等）， 个数（有限，可数无限，不可数无限等等），
P∈ E Q∈ E
例如 E = (0,1) U {2}， 则 4 有界集
δ ( E ) = 2。
设E为 Rn 中一点集 , E有界下面三个说法等价 有界, 为 有界 Y
K
(1)δ(E) <∞ ⇔(2)∃k > 0,∀x∈E,δ(x,0) < k (3)∃k > 0,∀x∈(x , x ,L, x )∈E, x ≤ k,i =1,2,L, n = 1 2 n i
称d(x,y)是x,y之间距离。称 (X,d)为度 之间距离。 是 之间距离 为度 结 量 论 空间（或距离空间） 空间（或距离空间）
设X是度量空间，则X中度量 具有对称性 是度量空间， 中度量d具有对称性 是度量空间 中度量 事实上，在定义1中，令z=x，再由 ）有 事实上，在定义 中 ，再由1） d(x,y)≤d(x,x)+d(y,x)=d(y,x) 次序是任意的,知 由x,y次序是任意的 知d(y,x) ≤d(x,y) 次序是任意的 所以, 所以 d(y,x) =d(x,y). 如果(X,d)是度量空间，Y是X的一个 是度量空间， 是 的一个 定义： 如果 是度量空间 定义： 非空子集， 非空子集，则(Y,d)也构成一个度量空 也构成一个度量空 称为(X,d)的子空间。 间，称为 的子空间。
∞ 21 ∞ 212 =[( ∑ ak )2 +( ∑ bk )2] k=1 k=1
令 ak = xk − zk , bk = zk − yk 代入上式
∞ 2 ≤ [ ∞ ( x − z ) 2 + ∞ ( z − y )2 ]2 ∑ ( xk − yk ) ∑ k k ∑ k k k =1 i k =1 k =1
δ 称为邻域的半径。 称为邻域的半径。 邻域的半径
2 邻域的基本性质： 邻域的基本性质： （1） P ∈ U ( P ) 显然成立。 ） 显然成立。 存在∪ 使得 （2） 对于 U1( P) 和 U 2 ( P ), 存在∪3(p),使得 ）
U 3 ( P ) ⊂ U1( P ) IU 2 ( P )
"ε − N " 语言
∀ ε > 0：∃N ∈ N +， n > N 有 P − P < ε ∀ n 0
邻域语言
对于 P 0 的任意邻域 U(P ) 0
∃N1 ∈ N +， ∀n > N1 有 P ∈U(P ) 使 n 0
2 点集间距离 定义：两个非空点集A,B的距离为 定义：两个非空点集 的距离为
(Rn , d ) 称为n维欧氏空间 称为欧几里得距离。 欧几里得距离。 称为 维欧氏空间.d 称为欧几里得距离 维欧氏空间
Rn 距离的另两种表示法
1 ρ '( x, y ) = max ξi −ηi i
n '( x , y ) = ∑ ξ − η 2 ρ i i i =1
邻域及其基本性质 1 邻域定义： 邻域定义：
i =1 n
I 称为区间I的“体积”。记作 。 称为区间 的 体积”
在R1,R2,R3中,| I | 分别表为区间长度，矩形面积， 分别表为区间长度，矩形面积，立体体积 长度
例2 记
∞ 2 2 = { x = { x }∞ l ∑ xi < ∞ } k k =1 k =1
∞ ∈ l 2 , y = { y }∞ ∈l 2 设 x = { x k }k =1 k k =1
再令左端 n →∞ 即得
∞ 2 ≤ ( ∞ a 2 ) ⋅( ∞ b 2 ) (∑ a b ) ∑ k ∑ k k k k =1 k =1 k =1
<∞
∞ ∞ 2 ∞ ∞ 2 ∞ 2 ∞ 2 ∞ 21 ∞ 2 ∑ (ak +bk)2 = ∑ ak +2 ∑ akbk + ∑ bk ≤ ∑ ak +2( ∑ ak • ∑ bk )2 + ∑ bk k= 1 k= 1 k= 1 k= 1 k= 1 k= 1 k= 1 k= 1
度量空间定义 设X 是任意一个非空集合， x, y, z∈ X ,都有 x是任意一个非空集合 ∀ 是任意一个非空集合， 条 唯一确定的实数d(x,y)与之对应且满足 与之对应且满足 唯一确定的实数 1（非负性） d (x, y) ≥ 0,d (x, y) = 0 ⇔ x = y （非负性） 件 2（三点不等式）d (x, y) ≤ d (x, z) + d ( y, z) （三点不等式）
d ( A, B) = inf d ( P, Q) = inf{d ( P, Q ) P ∈ A, Q ∈ B}
P∈E Q∈E
3 点集间直径
A
B
定义： 一个非空点集E的直径定义为 定义： 一个非空点集 的直径定义为
δ(E)
δ ( E ) = sup d ( P , Q ) = sup{d ( E , Q ) P , Q ∈ E } P
取δ1:0<δ1<δ∈d(P,Q) ∈
则U(Q)=U(Q,δ1)
δ1 Q Q P δ
U(P)
∩
（4） ）
当 P ≠ Q 时， 存在 U ( P) 和 U (Q), 使 U ( P ) I U (Q ) = φ 证明： 证明： 由 P ≠ Q 有 d ( P, Q) > 0 取
δ = 1 d ( P, Q) > 0
n n n 2 ≤ ∑ ( x − z )2 + ∑ ( z − y )2 d ( x, y) = ∑ ( x − y ) i=1 i i i=1 i i i=1 i i
=d(x,z)+d(y,z)
d 所以， ( x, y) ≤ d ( x, z) + d ( z, y) 即 所以， Rn 是度量空间。 是度量空间。
下面我们举一些度量空间的例子。 下面我们举一些度量空间的例子。 例1 欧氏空间 R n 对 R n 中任意两点
x = (ξ1,ξ2,L,ξn ), y = (η1,η2,Lηn )
规定距离
1 n d ( x , y ) = ( ∑ (ξ −η ) 2 ) 2 i =1 i i
由度量空间定义可知 证明： 证明： 1 显然成立。 显然成立。 2 由柯西不等式
度量空间， 维欧氏空间 §1. 度量空间，n维欧氏空间 两点间距离定义 ∀x, y, z ∈ R 都有唯一确定的实数 x − y 都有唯一确定的实数 条 且满足 1 x − y ≥ 0， x − y =0 ⇔ x = y 件 结 论 2 x− y ≤ x− z + y − z 称 x − y 为x与y的距离 。 与 的距离
1 ∞ d ( x , y ) = [ ∑ ( y − x ) 2 ]2 k i =1 k
定义
则d是 l 2 是
上的距离。 上的距离。
证明： 1 显然成立。 证明： 显然成立。 2 对固定的 对固定的n,
(n) = ( x , x ,L x ,0,0,L) x n 1 2
( n ) = ( y , y ,L y ,0,0,L ) y n 1 2
和
都是
Rn 中元素， 中元素，
故对固定的 n ，有柯西不等式
n n n 2 ≤ ( ∑ a 2 ) ⋅( ∑ b 2 ) (∑ a b ) k k k k =1 k k =1 k =1
不等式右端， 不等式右端， 令 n →∞ 得，
n 2 ≤ ( ∞ a 2 ) ⋅( ∞ b 2 ) ( ∑ a b ) ∑ ∑ k k k k k =1 k =1 k =1
3 U ( P,δ ) IU (Q,δ ) = φ ,
δ P δ Q
则
证毕。 证毕。
Rn 中几个基本概念
1 收敛 定义： 定义：设 {Pn } 为
Rm
P0 ∈ R m， 中一点列， 中一点列，
如果当 n →∞ 时有 d ( Pn , P0 ) → 0 则称点列 {Pn } 收敛于 P 0 。
lim 记为 n → ∞ Pn = P0 或 Pn → P0 ( n → ∞ )
两边开方
Rn 中所有和定点 P0 之距离小于定数
的点的全体， δ > 0 的点的全体，即集合 {= {d ( P, P0 ) < δ } = {P d ( P, P0 ) < δ ,δ > 0}
称为点 P0 的 δ 邻域。记作 邻域。
其中 P0 称为邻域的中心， 称为邻域的中心， 邻域的中心
证 明：设 U1( P ) = U ( P,δ1), U 2 ( P) = U ( P,δ 2 ) 取 δ = min{δ1,δ 2}, 则 ∃δ > 0 使
U ( P) = U ( P,δ ) ⊂ U1( P) IU 2 ( P) 3
（3） 对于 Q ∈U ( P ) 存在 U (Q) ⊂ U ( P) ） 证明： 因为 ∈ U ( p) = U ( P,δ ) 证明： 因为Q∈
E
X
5 区间 （1）开区间定义： ）开区间定义： 点集 {( x 1 , x2 ,L xn ) ai < xi < bi , i = 1, 2,L , n} 称为一 个(n维)开区间。 开区间。 维 开区间 （2）闭区间定义： ）闭区间定义： 点集 {( x 1 , x2 ,L xn ) ai < xi ≤ bi , i = 1, 2,L , n} 称为一个(n)维闭区间(或左开右闭区间 。 或左开右闭区间)。 称为一个 维闭区间 或左开右闭区间