2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。

A：整除B：不整除C：等于D：小于正确答案：A 得分：102、整数6的正约数的个数是（）。

A：1B：2C：3D：4正确答案：D 得分：103、如果5|n ，7|n，则35（）n 。

A：不整除B：等于C：不一定D：整除正确答案：D 得分：104、如果a|b，b|a ，则（）。

A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定正确答案：C 得分：105、360与200的最大公约数是（）。

A：10B：20C：30D：40正确答案：D 得分：106、如果a|b，b|c，则（）。

A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a正确答案：C 得分：107、1到20之间的素数是（）。

A：1，2，3，5，7，11，13，17，19B：2，3，5，7，11，13，17，19C：1，2，4，5，10，20D：2，3，5，7，12，13，15，17正确答案：B 得分：108、若a，b均为偶数，则a + b为（）。

A：偶数B：奇数C：正整数D：负整数正确答案：A 得分：109、下面的（）是模12的一个简化剩余系。

A：0，1，5，11B：25，27，13，-1C：1，5，7，11D：1，-1，2，-2正确答案：C 得分：1010、下面的（）是模4的一个完全剩余系。

A：9，17，-5，-1B：25，27，13，-1C：0，1，6，7D：1，-1，2，-2正确答案：C 得分：1011、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。

A：x=0,y=3B：x=2,y=1C：x=4,y=2D：x=2,y=2正确答案：D 得分：1012、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。

A：0B：1C：2D：3正确答案：A 得分：1013、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。

A：6B：2D：13正确答案：A 得分：1014、100与44的最小公倍数是（）。

A：4400B：2200C：1100D：440正确答案：C 得分：1015、{{1.8}+{2.9}}等于（）。

A：0.4B：0.5C：0.6D：0.7正确答案：D 得分：1016、[[4.5]+[3.7]]等于（）。

A：3B：4C：7D：8正确答案：C 得分：1017、一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n 是（）。

A：1110B：1101C：1011D：1001正确答案：A 得分：1018、-4除-39的余数是（）。

A：3B：2C：1D：0正确答案：C 得分：1019、下面的数是3的倍数的数是­­­（）。

A：19C ：1119D ：11119正确答案：C 得分：1020、小于20的正素数的个数是（ ）。

A ：11B ：10C ：9D ：8正确答案：D 得分：1021、下面的（ ）是模4的一个简化剩余系。

A ：4,17B ：1,15C ：3,23D ：13,6正确答案：B 得分：1022、已知361a 是一个4位数（其中a 是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a 的值是­­­（ ）。

A ：0B ：2C ：5D ：9正确答案：C 得分：10第二次作业填空题1．16除100的余数是 4 _。

2．如果今天是星期一，那么从今天起再过1010天后是星期 四 。

3．{3.2} = 0.2 ；[2.84] = 2 。

4．[{3.6} + {1.7}] = 1 。

5．{{4.2}{2.3}}-+=___0.1___________。

6．15的所有正因数的和是 9 。

7．1260的标准分解式是 222357⨯⨯⨯ 。

8．20！的标准分解式是1884235711131719⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 。

9．98!的末尾有______22_________个零。

10．890的标准分解式是 2 ×5×89.11．欧拉函数值(50)ϕ= 20 。

12．7除3301的余数是 4 。

13．不定方程ax + by = c 有解的充要条件是 (,)a b c 。

14．设m 为正整数，a ，b 为两个整数，如果用m 去除a 与b 所得的余数相同，那么就称a ，b 对模m 同余 。

15．一次同余式(mod )ax b m ≡有解的充分必要条件是___(,)a m b __________。

16．模7的最小非负完全剩余系是 {0,1,2,3,4,5,6} 。

17．（1516，600）= 227400 。

18．不定方程ax + by = c (其中a ，b ，c 是整数)有整数解的充要条件是 (,)a b c 。

19．710被11除的余数是 1 。

20．77的个位数是_3______ _第三次作业计算题1．写出400与600的标准分解式，并求出400与600的最大公因数。

解 4240025=⨯，32600235=⨯⨯，32(400,600)25200=⨯=。

2．求128121被11除的余数。

解 因为ϕ(11)=10，而128与11互素，所以12810≡1(mod 11)，于是128121≡128≡7(mod 11)，所以128121被11除的余数为7。

3．求1050与858的最大公因数。

解：因为1050 = 2⨯3⨯52⨯7，858 = 2⨯3⨯11⨯13，所以(1050，858) = 2⨯3 = 6。

4．求1001！中末尾0的个数。

解：因为10=2⨯5，所以1001！中末尾相当于1001！的质因数分解式中2⨯5的个数。

由于2<5，所以1001！的质因数分解式中2的个数比5的个数要多，因此，只要考察1001！中因子5的个数即可。

因为：1001÷5=200……1，1001÷52=40……1，1001÷53=8……1，1000÷54=1……375，又因为200+40+8+1=249，所以答案为249。

即1001！中末尾0的个数为249个。

5．求不定方程3x + 5y = 20的一切非负整数解。

解：因为（3，5）=1，所以不定方程有整数解。

由观察知x 0 = 0，y 0 = 4是不定方程3x +5y =20的一个整数解，所以不定方程3x +5y =20的一切整数解是543x t y t =⎧⎨=-⎩，其中t 取一切整数。

由00x y ≥⎧⎨≥⎩可解得403t ≤≤，所以0,1t =，故不定方程的一切非负整数解为 04x y =⎧⎨=⎩，51x y =⎧⎨=⎩。

6．求出不定方程7x + 2y = 1的一个整数解，并写出其一切整数解的表达式。

解：因为（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。

观察知其一个整数解是0013x y =⎧⎨=-⎩。

于是其一切整数解为1237x t y t =+⎧⎨=--⎩，t 取一切整数。

7．求不定方程15x + 10y + 6z = 61的一切整数解。

解：不定方程的一切整数解为52653665x u v y u vz v =--⎧⎪=-++⎨⎪=+⎩，其中u ，v 取一切整数。

8．计算欧拉函数值：ϕ（100）。

解：100 = 2252，由公式有（100）=221125(1)(1)25⨯⨯-⨯-= 40。

9．解同余式3x ≡ 8 (mod 10)。

解：因为（3,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一个解。

由3108x y -=得一个解0061x y =⎧⎨=⎩，所以同余式的解为6(mod10)x ≡。

10．解同余式组：1(mod 2)1(mod 3)1(mod 5)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩。

解：因为2，3，5两两互质，所以由孙子定理该同余式组有一个解。

由孙子定理可得该同余式组的解为x ≡ 1(mod 30)。

11．解同余式28x ≡ 21 (mod 35)。

解 因为（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x ≡ 21(mod 35)有解，且有7个解。

同余式28x ≡ 21(mod 35)等价于4x ≡ 3(mod 5)，解4x ≡ 3(mod 5)得x ≡ 2(mod5)，故同余式28x ≡ 21(mod 35)的7个解为x ≡ 2，7，12，17，22，27，32(mod35)。

12．解同余式组：1(mod3)2(mod 7)x x ≡⎧⎨≡⎩。

解：由1(mod3)x ≡得1113,x t t Z =+∈，将其代入2(mod7)x ≡得1132(mod 7)t +≡，即131(mod 7)t ≡，解得15(mod 7)t ≡，所以12257,t t t Z =+∈，于是12221313(57)1621,x t t t t Z =+=++=+∈。

所以同余式组的解为16(mod 21)x ≡。

第四次作业证明题1．证明：若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m d b c a +≡+。

证明：由)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡得)(|b a m -，)(|d c m -，由整除的性质得)]()[(|d c b a m -+-，即)]()[(|d b c a m +-+，所以)(mod m d b c a +≡+。

2．证明：设m , n 为整数，求证m +n , m -n 与mn 中一定有一个是3的倍数。

证明：若m 或n 为3的倍数，则mn 是3的倍数；若m 是3的倍数加1，n 是3的倍数加1，则m -n 是3的倍数；若m 是3的倍数加1，n 是3的倍数加2，则m +n 是3的倍数；若m 是3的倍数加2，n 是3的倍数加1，则m +n 是3的倍数；若m 是3的倍数加2，n 是3的倍数加2，则m -n 是3的倍数，结论成立。

3．证明：若c a |，d b |，则cd ab |。

证明：由c a |，d b |知存在整数p ，q 使得ap c =，bq d =，所以abpq apbq cd ==，因为pq 为整数，所以由整除的定义知cd ab |。

4．证明：若n 为自然数，求证9n +1≡8n +9(mod 64)。

证明：因为9≡1(mod 8)，所以9k ≡1(mod 8)，k =2，3，…，n -1，于是9n -1+…+92+9+1≡n (mod 8)，所以9(9n -1+…+92+9+1)≡ n (mod 8)，从而9(9-1)(9n -1+…+92+9+1)≡ 8n (mod 64)，即9(9n -1) ≡ 8n (mod 64)，所以 9n +1≡8n +9(mod 64)。

5．若p 为奇质数，证明2p | (22p -1–2)。