M 矩阵的性质、定理及证明一、M 矩阵的概念定义1 设n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，01≥-A ，称A 为M 矩阵。

定义2 设n n ij a A ⨯=)(，且0≥ij a ，若1-A 为M 矩阵，则称A 为逆M 矩阵。

引理1 如果n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，A 为M 矩阵的充要条件是A 可做三角分解，R L A •=,其中L 为下三角阵，R 为上三角阵，L 和R 的主对角元都是正值。

二、M 矩阵的判定定理与证明定理1 若n n ij a A ⨯=)(为M 矩阵，则R L A ⨯=，其中下三角阵L 和上三角阵R 的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。

证明 若A 为M 阵，则当j i ≠，0≤ij a ；j i =，0>ij a 。

由引理1，A 可做三角分解R L A •=。

设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n l l l l l l L 21222111000 ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n r r r r r r R 00022211211 则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=nn nn n n n n n n n r l r l r l r l r l l r l r l r l r l r l r l r l A 112221211112212122221221112111112111111， 故0,,1111211≤n r l r l 。

因011>l ，故0,,112≤n r r ；因,0,0,,111111121>≤r r l r l n 故0,,121≤n r r ；因022321231≤+r l r l ，故02221≤r l ，从而021≤l ；因023221321≤+r l r l ，故023≤r 。

类似的有02≤i r ，02≤i l （n i ,,5,4 =）。

又因有0343324321421≤++r l r l r l 及0334323421341≤++r l r l r l 故相应有014≤r ，043≤l 。

类似的有03≤i r ，03≤i l （n i ,,6,5 =）。

假设k n =时有0≤ik l ，0≤ki r ，（n k i ,,1 +=），当1+=k n 时，由于02,11,12,,12,22,12,11,1≤++++++++++++++k k k k k k k k k k k k r l r l r l r l ，故02,1≤++k k r 。

又由于01,11,21,11,2≤++++++++k k k k k k r l r l ，故01,2≤++k k l ；类似的可得到0,1≤+i k r ，01,≤+k i l （n k i ,,2 +=）。

证毕。

定理2 设n n ij a A ⨯=)(，ij a 的代数余子式为ij A ，n j i ,,2,1, =，如果,,0j i a ij ≠≥则1-A 为M 矩阵的充要条件0,0≤>ij ii A A 。

证明 必要性：如果1-A 为M矩阵，由于))(,0(11n n ij A A A d A dA ⨯**-=≠==，故0,0≤>ij ii A A )(j i ≠。

充分性：由于*-=A dA 11，且0,0≤>ij ii A A ，),,2,1,(,0,)(n j i a a A ij n n ij =≥=⨯，就由定义1知1-A 为M 矩阵，证毕。

定义3 设有n 阶矩阵n n ij a A ⨯=)(，如果存在正向量X （即它的分量i x 都是正值），使得),,2,1(n i x a x a ij j ij i ii =>∑≠成立，则称A 为拟对角占优。

引理2 设n n ij a A ⨯=)(，满足)(0,0j i a a ij ii ≠≤>，并且矩阵T A A B +=为拟对角占优，则A 为M 矩阵。

定理 3 设n n ij a A ⨯=)(，如果k i n k i a a k i kk ii ≠=ΛΛ>,,,2,1,,41则A 为M 矩阵（其中∑≠+=Λ=>≠≤ij ji ij i ii ij a a j i a j i a ,0,,0）。

证明 若i ii a Λ>21对n i ,,2,1 = 皆成立，则由定义3 知TA AB +=为拟对角占优。

由引理2知A 为M 矩阵，为此，只需证明对某个i 有i ii a Λ≤21的情形。

不失一般性，不妨设121Λ≤ii a 。

由 k i kk ii a a ΛΛ>41,可得,,,3,2,21n k a k kk =Λ>用111/)21(a Λ乘以矩阵B 的第一列，得新矩阵)()1()1(ij b B =，则有1)1(11Λ=b ，∑≠=Λ=++Λ+≥ΛΛ>=nki i kki ik k k k kk kka a a a a a a b2)1(11111111)1()2/()2/(2 再假设0,/1)1(22)1(22)1(2≠Λ>>b b r ，用r 乘以矩阵)1(B 的第二列得到新矩阵)()2()2(ij b B =，则有)2(1)1(1)1(11)2(11Λ>Λ==b b ， )2(2)1(2)1(22)2(22Λ=Λ>=r b b ， )2()1()1()2(k k kk kk b b Λ≥Λ>=，n k ,,4,3 =于是)2(B 为强对角占优，故B 为拟对角占优。

由引理2知A 为M 矩阵。

定理4 设0),(,0,)(>≠≤=⨯ii ij n n ij a j i a a A ，设⎭⎬⎫⎩⎨⎧Λ>=i ii a i N 211，⎭⎬⎫⎩⎨⎧Λ>=i ii a i N 212，{} n N N N ,,2,121==，∑∈+=1N j ji ij i a a α，∑∈+=1N j ji ij i a a β若对任意21,N j N i ∈∈，恒有i j i jj i ii a a βαβα>--)2)(2(，则A 为M 矩阵。

证明 令：),(2,221N j N i a a R a a r iiii i jjj j j ∈∈-=-=ββ，由于i j j jj i ii a a a βαβ)2)(2(--，故j i r R >，取i N j j N j R r 12min max ∈∈<<δ做{}121,1;,|N i d N i d d diag D i i ∈=∈==当当δ得)()1()1(ij b BD B ==，则当1N i ∈时，有)0(0222)1()1(≠=--->--=Λ-i i iiii i ii i i ii i ii a a a a a a b βββδβ，如果0=i β，显然有 02)1()1(>-=Λ-i ii i ii a a b 。

当2N i ∈时有02)2()2()1()1(=--->--=Λ-i iii ii ii i i ii i ii a a a a a a b ββδβ，于是知BD B =)1(为强对角占优矩阵，由定义3知B 为拟对角占优矩阵，因此，根据引理2知A 为M 矩阵。

证毕。

定理5 如果存在正对角阵D ，使AD 为拟对角占优阵，则A 为拟对角占优阵。

证明 因为存在正对角阵D ，使AD 为拟对角占优，则存在正对角阵1D ，使1ADD 为强对角占优。

又因1DD 仍为正对角阵，故A 为拟对角占优阵。

证毕。

定理6 设0,,0,)(>≠≤=⨯ii ij n n ij a j i a a A ，且对任意的12,N i N j ∈∈有i j i jj i ii a a a βαβ≥--)2)(2( （1）并且对全体等号成立的j i ,，存在非零元素链112111211,k k k k i j j j jj i i i i ii a a a a a a -- ，使得k k k k k k k k i j j j j i i i a a a a ββ1111)2)(2(>--成立，则A 为M 矩阵。

证明 由于i j i jj i ii a a a βαβ≥--)2)(2(，故j i r R >。

取i N j j N j R r 21min max ∈∈<<δ，做{}12,1;,|N i d N i d d diag D i i i ∈=∈==当当δ得)()1()1(ij b BD B ==，则当1N i ∈时，有)0(0)1()1(≠≥Λ-i i ii b β 如果0=i β，显然有 0)1()1(≥Λ-i ii b 。

当2N i ∈时，有 0)1()1(≥Λ-i ii b ，反之，若对使式（1）成立的j i ,，存在非零元素链112111211,k k k k j j j j jj i i i i ii a a a a a a -- ，使得k k k k k k k k i j j j j i i i a a a a ββ1111)2)(2(>-- 成立则由前分析知BD B =)1(为具有非零元素链的对角占优矩阵，并且通过文献知道)1(B 为半强对角占优矩阵。

故BD B =)1(为拟对角占优矩阵，从而B 为拟对角占优矩阵，由引理2知A 为M 矩阵。

证毕。

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