第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分150分,时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.sin2cos3tan4的值( ) A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在[答案] A[解析] ∵π2<2<π,∴sin2>0,∵π2<3<π,∴cos3<0,∵π<4<3π2,∴tan4>0,∴sin2cos3tan4<0.2.若角600°的终边上有一点(-4,a ),则a 的值是( ) A .4 3B .-4 3C .±4 3 D. 3 [答案] B[解析] 由条件知,tan600°=a-4, ∴a =-4tan600°=-4tan60°=-4 3. 3.(08·全国Ⅰ文)y =(sin x -cos x )2-1是( ) A .最小正周期为2π的偶函数 B .最小正周期为2π的奇函数 C .最小正周期为π的偶函数 D .最小正周期为π的奇函数 [答案] D[解析] ∵y =(sin x -cos x )2-1=sin 2x -2sin x cos x +cos 2x -1=-sin2x , ∴函数y =(sin x -cos x )2-1的最小正周期为π,且是奇函数. 4.函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3在区间⎣⎡⎦⎤-π2,π的简图是( )[答案] A[解析] x =0时,y <0,排除B 、D , x =π6时,y =0,排除C ,故选A. 5.为了得到函数y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象,只需将函数y =sin2x 的图象( ) A .向左平移5π12个长度单位B .向右平移5π12个长度单位C .向左平移5π6个长度单位D .向右平移5π6个长度单位[答案] A[解析] y =cos(2x +π3)=sin(2x +π2+π3)=sin(2x +5π6)=sin2(x +5π12),由y =sin2x 的图象得到y =cos(2x +π3)的图象.只需向左平移5π12个长度单位就可以.6.函数y =|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫-π4,π4 B.⎝⎛⎭⎫π4,3π4 C.⎝⎛⎭⎫π,3π2 D.⎝⎛⎭⎫3π2,2π [答案] C[解析] 画出函数y =|sin x |的图象,如图所示.由函数图象知它的单调增区间为⎝⎛⎭⎫k π,k π+π2(k ∈Z ),所以当k =1时,得到y =|sin x |的一个单调增区间为⎝⎛⎭⎫π,3π2,故选C. 7.(08·四川)设0≤α≤2π,若sin α>3cos α,则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π3,π2 B.⎝⎛⎭⎫π3,π C.⎝⎛⎭⎫π3,4π3 D.⎝⎛⎭⎫π3,3π2[答案] C[解析] ∵sin α>3cos α,∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos α>0tan α>3或⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0tan α<3或⎩⎪⎨⎪⎧cos α=0sin α=1,∴π3<α<4π3. [点评] ①可取特值检验,α=π2时,1=sin π2>3cos π2=0,排除A ;α=π时,0=sinπ>3cosπ=-3,排除B ;α=4π3时,sin 4π3=-32,3cos 4π3=-32,∴sin 4π3=3cos 4π3,排除D ,故选 C.②学过两角和与差的三角函数后,可化一角一函解决,sin α-3cos α=2sin ⎝⎛⎭⎫α-π3>0,∴sin ⎝⎛⎭⎫α-π3>0,∵0≤α≤2π,∴π3<α<4π3. 8.方程sinπx =14x 的解的个数是( )A .5B .6C .7D .8[答案] C[解析] 在同一坐标系中分别作出函数y 1=sinπx ,y 2=14x 的图象,左边三个交点,右边三个交点,再加上原点,共计7个.9.已知△ABC 是锐角三角形,P =sin A +sin B ,Q =cos A +cos B ,则( ) A .P <QB .P >QC .P =QD .P 与Q 的大小不能确定[解析] ∵△ABC 是锐角三角形,∴0<A <π2,0<B <π2,A +B >π2,∴A >π2-B ,B >π2-A ,∵y =sin x 在⎝⎛⎭⎫0,π2上是增函数, ∴sin A >cos B ,sin B >cos A , ∴sin A +sin B >cos A +cos B ,∴P >Q .10.若函数f (x )=3cos(ωx +φ)对任意的x 都满足f ⎝⎛⎭⎫π3+x =f ⎝⎛⎭⎫π3-x ,则f ⎝⎛⎭⎫π3的值是( ) A .3或0 B .-3或0 C .0D .-3或3[答案] D[解析] f (x )的图象关于直线x =π3对称,故f ⎝⎛⎭⎫π3为最大值或最小值. 11.下列函数中,图象的一部分符合下图的是( )A .y =sin(x +π6)B .y =sin(2x -π6)C .y =cos(4x -π3)D .y =cos(2x -π6)[答案] D[解析] 用三角函数图象所反映的周期确定ω,再由最高点确定函数类型.从而求得解析式.由图象知T =4(π12+π6)=π,故ω=2,排除A 、C.又当x =π12时,y =1,而B 中的y =0,故选D.12.函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫π3-x -cos ⎝⎛⎭⎫x +π6(x ∈R )的最小值为( ) A .-3 B .-2 C .-1D .- 5[解析] ∵y =2sin ⎝⎛⎭⎫π3-x -cos ⎝⎛⎭⎫x +π6 =2cos ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫π3-x -cos ⎝⎛⎭⎫x +π6=cos ⎝⎛⎭⎫x +π6, ∴y min =-1.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.若1+sin 2θ=3sin θcos θ则tan θ=________. [答案] 1或12[解析] 由1+sin 2θ=3sin θcos θ变形得2sin 2θ+cos 2θ-3sin θcos θ=0⇒(2sin θ-cos θ)(sin θ-cos θ)=0,∴tan θ=12或1.14.函数y =16-x 2+sin x 的定义域为________. [答案] [-4,-π]∪[0,π][解析] 要使函数有意义,则⎩⎨⎧16-x 2≥0sin x ≥0,∴⎩⎪⎨⎪⎧-4≤x ≤42k π≤x ≤2k π+π(k ∈Z ), ∴-4≤x ≤-π或0≤x ≤π.15.已知集合A ={α|30°+k ·180°<α<90°+k ·180°,k ∈Z },集合B ={β|-45°+k ·360°<β<45°+k ·360°,k ∈Z },则A ∩B =________.[答案] {α|30°+k ·360°<α<45°+k ·360°,k ∈Z } [解析] 如图可知,A ∩B ={α|30°+k ·360°<α<45°+k ·360°,k ∈Z }.16.若a =sin(sin2009°),b =sin(cos2009°),c =cos(sin2009°),d =cos(cos2009°),则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是________.[答案] b <a <d <c[解析] ∵2009°=5×360°+180°+29°, ∴a =sin(-sin29°)=-sin(sin29°)<0, b =sin(-cos29°)=-sin(cos29°)<0, c =cos(-sin29°)=cos(sin29°)>0, d =cos(-cos29°)=cos(cos29°)>0, 又0<sin29°<cos29°<1<π2,∴b <a <d <c .[点评] 本题“麻雀虽小,五脏俱全”,考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等,应加强这种难度不大,对基础知识要求掌握熟练的小综合题训练.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)已知sin θ=1-a 1+a ,cos θ=3a -11+a,若θ为第二象限角,求实数a 的值. [解析] ∵θ为第二象限角,∴sin θ>0,cos θ<0. ∴1-a 1+a >0,3a -11+a <0,解之得,-1<a <13.又∵sin 2θ+cos 2θ=1,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1-a 1+a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫3a -11+a 2=1, 解之,得a =19或a =1(舍去).故实数a 的值为19.18.(本题满分12分)若集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ sin θ≥12,0≤θ≤π,N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪cos θ≤12,0≤θ≤π,求M ∩N .[解析] 解法一:可根据正弦函数图象和余弦函数图象,找出集合N 和集合M 对应的部分,然后求M ∩N .首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y =12.如图.结合图象得集合M 、N 分别为M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6≤θ≤5π6,N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 得M ∩N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 解法二:利用单位圆中的三角函数线确定集合M 、N . 作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示.由单位圆中的三角函数线知M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π6≤θ≤5π6, N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤π. 由此可得M ∩N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪π3≤θ≤5π6. 19.(本题满分12分)已知cos x +sin y =12,求sin y -cos 2x 的最值.[解析] ∵cos x +sin y =12,∴sin y =12-cos x ,∴sin y -cos 2x =12-cos x -cos 2x=-⎝⎛⎭⎫cos x +122+34, ∵-1≤sin y ≤1,∴-1≤12-cos x ≤1,解得-12≤cos x ≤1,所以当cos x =-12时,(sin y -cos 2x )max =34,当cos x =1时,(sin y -cos 2x )min =-32.[点评] 本题由-1≤sin y ≤1求出-12≤cos x ≤1是解题的关键环节,是易漏掉出错的地方.20.(本题满分12分)已知y =a -b cos3x (b >0)的最大值为32,最小值为-12.(1)求函数y =-4a sin(3bx )的周期、最值,并求取得最值时的x ; (2)判断其奇偶性.[解析] (1)∵y =a -b cos3x ,b >0,∴⎩⎨⎧ymax =a +b =32ymin =a -b =-12,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12b =1,∴函数y =-4a sin(3bx )=-2sin3x . ∴此函数的周期T =2π3,当x =2k π3+π6(k ∈Z )时,函数取得最小值-2;当x =2k π3-π6(k ∈Z )时,函数取得最大值2.(2)∵函数解析式f (x )=-2sin3x ,x ∈R , ∴f (-x )=-2sin(-3x )=2sin3x =-f (x ), ∴y =-2sin3x 为奇函数.21.(本题满分12分)函数f (x )=A sin(ωx +φ)的图象如图所示.试依图推出:(1)f (x )的最小正周期; (2)f (x )的单调递增区间;(3)使f (x )取最小值的x 的取值集合.[解析] (1)由图象可知,T 2=74π-π4=32π,∴T =3π.(2)由(1)可知当x =74π-3π=-54π时,函数f (x )取最小值,∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤-54π+3k π,π4+3k π(k ∈Z ). (3)由图知x =74π时,f (x )取最小值,又∵T =3π,∴当x =74π+3k π时,f (x )取最小值,所以f (x )取最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =74π+3k π,k ∈Z .22.(本题满分14分)函数f (x )=1-2a -2a cos x -2sin 2x 的最小值为g (a )(a ∈R ). (1)求g (a );(2)若g (a )=12,求a 及此时f (x )的最大值.[解析] (1)由f (x )=1-2a -2a cos x -2sin 2x =1-2a -2a cos x -2(1-cos 2x ) =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)=2⎝⎛⎭⎫cos x -a 22-a22-2a -1.这里-1≤cos x ≤1. ①若-1≤a 2≤1,则当cos x =a 2时,f (x )min =-a 22-2a -1;②若a2>1,则当cos x =1时,f (x )min =1-4a ;③若a2<-1,则当cos x =-1时,f (x )min =1.因此g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧1 (a <-2)-a22-2a -1 (-2≤a ≤2)1-4a (a >2).(2)∵g (a )=12.∴①若a >2,则有1-4a =12,得a =18,矛盾;②若-2≤a ≤2,则有-a 22-2a -1=12,即a 2+4a +3=0,∴a =-1或a =-3(舍). ∴g (a )=12时,a =-1.此时f (x )=2⎝⎛⎭⎫cos x +122+12, 当cos x =1时,f (x )取得最大值为5.。