例题分析
x t s
2
n
105 .36 2.06 105 .36 3.99
9.66 25
101 .37 ,109 .35
该食品平均重量的置信区间为：
101.37g~109.35g
该食品平均重量的置信区间为：
101.44g~109.28g
例题分析：PHstat
PHstat>Confidence Intervals>Estimate for the Mean, sigma unknown
两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为 5.03分~10.97分
均值差的区间估计：T分布
Intermediate Calculations Sample Proportion Z Value Standard Error of the Proportion Interval Half Width Confidence Interval Interval Lower Limit
95%
0.65 -1.959 0.0476 0.093 0.5565
该城市下岗职工中女性比例的置信 区间为：55.65%~74.35%
例题分析：PHstat

PHstat>Confidence Intervals>Estimate for the proportion
Sample Size Number of Successes 100 65
Confidence Level
Sample Standard Deviation Sample Mean Sample Size Confidence Level Intermediate Calculations t Value Interval Half Width Confidence Interval Interval Lower Limit
Confidence Level 80% 90% 95% 98% 99% 99.8% 99.9% Critical value z 2 1.28 1.645 1.96 2.33 2.57 3.08 3.27
例题分析
为分析产品重量是否符合标准，某企业从一批产品中随机抽 取25袋，测得每袋重量如下。已知产品重量服从正态分布， 且总体标准差为 10g 。试估计该批产品平均重量的置信区间 ，置信水平为95%
区间估计
随机样本 总体
(均值, μ, 未知)
均值 x = 50
置信水平 我有 95%的把 握相信总体均 值μ介于40和 60之间
样本
置信水平（Confidence Level）



用随机样本重复构造置信区间，所有区间中包 含总体参数的比例称为置信水平 表示为 (1－ 为总体参数未在区间内的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10
Data Population Standard Deviation Sample Mean Sample Size 10 105.36 25
Confidence Level
Intermediate Calculations Standard Error of the Mean Z Value Interval Half Width
例：95%的置信区间
点估计值

重复构造出的20个置信区间
一个总体参数的区间估计
总体参数 符号表示 样本统计量
均值
比例

x
p

2
p
s
2
方差
总体均值估计：正态总体&方差已知

总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
x z 2
x z 2 n n
x z 2 n z 2为临界值，z ~ N (0,1)，可查标准正态分布表 确定;
标准正态分布
标准正态分布
t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
z
x
t 分布与标准正态分布的比较
不同自由度的t分布
t
例题分析
为分析产品重量是否符合标准，某企业从一批产品中随机抽 取25袋，测得每袋重量如下。已知产品重量服从正态分布， 试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%
25袋产品的重量 112.5 102.6 100.0 116.6 136.8 101.0 107.5 123.5 95.4 102.8 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5 102.0 108.8 101.6 108.6 98.4 100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
x t
2
s x t n
2
s n
s x t 2 n t 2为临界值，t ~ t (n 1)，可查t分布表确定； s为样本标准差，替代总 体标准差
t 分布
t分布是近似正态分布的一种对称分布，但更平坦和 分散。t分布依赖于自由度（n-1），随着自由度的增 大，逐渐趋近于正态分布
95%
6.19 15 2.13
Interval Half Width
Confidence Interval Interval Lower Limit Interval Upper Limit
13.19
1476.80 1503.20
总体比例的区间估计：大样本

总体比例p在1-置信水平下的置信区间为
某城市想要估计 下岗女性职工比 例，随机地抽取 了 100 名 下 岗 职 工，其中 65 人为 女性。试以 95% 的置信水平估计 该城市下岗职工 中女性比例的置 信区间
p z
2
p (1 p ) n
65%(1 65%) 65% 1.96 100 65% 9.35% 55.65%,74.35%
Interval Upper Limit
0.7434
总体方差的区间估计：正态总体

总体方差 2在1- 置信水平下的置信区间为
2 2 ( n 1 ) s (n 1) s 2 2 2 1 2 (n 1) 2 (n 1) 2 2 ( n 1 ) 为置信区间下限临界值 ，查 分布表确定； 2
例题分析：PHstat

PHstat>Confidence Intervals>Estimate for the population variance
可使用Excel中的 STDEV函数计算
Data
Sample Size
Sample Standard Deviation Confidence Level Results Interval Lower Limit for Variance Interval Upper Limit for Variance
总体标准差; n 样本容量; x 样本均值
确定临界值：置信水平 = 95%
1 0.95 0.05
Z 2 Z 0.025 1.96Βιβλιοθήκη 0.0250.950
0.025
Z0.025 = -1.96
临界值
Z0.025 = 1.96
临界值
正态分布常用置信水平及临界值
95%
2 -1.959 3.9199
Confidence Interval
Interval Lower Limit Interval Upper Limit 101.44 109.27
例题分析：PHstat
输入样本数据
总体均值估计：正态总体&方差未知

总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
24.76 1490 16
Sample Standard Deviation Sample Mean Sample Size
Confidence Level
Intermediate Calculations Standard Error of the Mean Degrees of Freedom t Value

1２，2２已知时，1-2的置信区间为
( x1 x 2 ) z 2

2 12 2 n1 n2
1２，2２未知时，1-2的置信区间为
( x1 x2 ) z 2
2 s12 s2 n1 n2
2 ( s12 , s2 为样本方差)
例题分析
某地区教育管理部门想 估计两所中学高考英语 平均分数之差。在两所 中学随机抽取两个样本 ，有关数据如右表 。建 立两所中学平均分数之 差95%的置信区间
例题分析
x z 2

10 105.36 1.96 n 25 105.36 3.92
该食品平均重量的置信区间为： 101.44g~109.28g
例题分析：PHstat

PHstat>Confidence Intervals>Estimate for the Mean, sigma known
p z 2 p(1 - p) p(1 - p) p p z 2 n n
p (1 - p ) p z 2 n z 2为临界值，z ~ N (0,1)，可查标准正态分布表确定； p为样本比例; 大样本：np 5; n(1 p) 5
例题分析
25袋产品的重量 112.5 102.6 100.0 116.6 136.8 101.0 107.5 123.5 95.4 102.8 103.0 95.0 102.0 97.8 101.5 102.0 108.8 101.6 108.6 98.4 100.5 115.6 102.2 105.0 93.3
25