自由曲面的刀具路径生成与误差分析年轻的根莱（美国.德克萨斯州.德克萨斯农机学院.工业工程学院）2006.1.30收到；2006.4.25接收; 2006.6.12在线提供摘要:这篇文章集中于发展一种算法,并以这种算法生成满足一定精度的自由曲面的刀具路径，该算法用数学曲线或曲面来表示加工零件,这样我们可以生成可靠的、近于优化的刀具路径以及后续加工的刀位数据，这种算法包括两个部分：第一是进给步长函数，他决定给定公差的两个刀触点之间的最大距离即进给步长，这个函数独立于面类型并且适用于所有的二次可微的连续参数表面，第二部分是行距函数，他决定给定残高的相邻刀具路径之间的最远距离—行距，这个算法在保持给定公差和残高的同时减少了加工制造和计算时间以及刀触点的个数。
用三轴洗床加工几种用推荐的算法生成刀触点的零件，分析加工过程生成的刀具路径并比较最终加工生成的零件与所需零件,以此验证这种算法的优点.关键词：CAD/CAM;刀具路径生成；数控加工；点云法1.介绍工艺规划是制造加工的功能之一，他决定使用哪个工艺和参数来将初始零件生成工程图纸预定的最终零件，系统的输入为一个二位或三维的计算机辅助设计模型，这个模型不仅包括形状和尺寸信息，也包括公差和专门的特征，在便于加工制造方面，CAD/CAM系统直接从CAD模型生成数字控制程序，该程序包括了一连串的指令代码，而且数字控制直接影响加工零件的精度和成本，并在被加工零件上产生特定轨迹即刀具路径。
在铣削加工中，刀具沿着刀具路径在刀触点作直线远动，曲面近是一段段直线段如图一所示，由偏差控制的近似直线的精确度叫做误差，如图一相邻刀具路径之间有残留物，洗削加工后需要进行磨削加工来是表面广整，然而消除相邻路径之间的残高的磨削加工是非常好时和昂贵的，大的残高增加了加时间和成本。
因此适合的刀具路径对于减少再次加工（入磨削和抛光）是非常重要的。
对于给定的公差和高用较少的刀触点来生成刀具路径也是非常重要的，因为我们认为直线段越多，加工时间越长，刀触点之间线段长度叫做进给步长，记为S，最大允许偏差是指公差记为e，如图一所示，更进一步说，相邻刀具路径之间的距离叫做行距，把它记为g，最大允许残高叫做残高记为h，如图一，e与h的值先被确定，然后由他们确定s和g值。
这篇文章中，我们为给定公差和残高的自由曲面的刀具路径生成提供了新的方法，然后用建议的算法生成数控代码,再用此数控代码加工真实零件，以验证零件的精度。
图1.进给步长和行距关于自由曲面刀具路径生成的研究已有很多，Loney ，Ozoy ，Broomhead 及Edkins 已用国际标准参数曲线研究了刀具路径的生成。
他们将零件表面的刀具路径用国际标准参数曲线近似表示，并且由最大的残高计算相邻刀具路径之间的距离g 值，用快速并粗略的方法计算进给步长，尽管这个方法广泛地使用于刀具路径生成，但这个计算起来会很贵，因为它使用了搜索策略法，为了提高运算效率，我们更期望一种快速的评估方法，Bobrow ，Huang ，和Oliver 发明了国际标准平面的数控路径生成法，在这篇文章中零件上的刀具路径近似由一系列平面表示，并用一系列平面将零件分为截面以便获得刀触点，因为这种计算非常冗长，并且截平面是一个非琐碎问题，所以这些方法对于生成自由曲面的刀具路径效率不高Huang 和Oliver 针对非连续残高的加工制造零件上发占了国际标准平面刀具路径生成法，他们运用国际标准平面法在参数表面上加工,并使用一种计算方法来证实加工误差，然而计算方法也是迭代法并冗长，与我们提供的算法相比,他们决定进给步长值还多用了搜索法。
Suresh ， Yang ，Lin ， Koren 研究了残高加工即国际标准残高加工，他们建议采用残高加工来获得所需的零件加工精度。
使用这种方法，用户可以控制加工零件的精度，这些方法的目标是在给定的公差和残高的零件基础上生成总体上最短的刀具路径，我们刀具路径生成与国际标准残高加工方法在一点上相似，即我们在最初给定的公差和残高基础上，通过使用国际标准参数曲线补偿来生成所涉及零件的刀具路径，然而我们另提供了一种新的，精准的方法来生成所设计零件的刀具路径。
所需表面设计表面 球头刀具直线刀具路径图2. 整体概念的方法2.整体概念的方法这一部分，我们概括了可以用来生成刀具路径的方法，在这项研究中我们建议的方法是经全面概括得来的，如下面这一部分的简单解释，这个全面概括的方法可以概括为图下表2所示。
•在u，v平面定义所设计表面，所涉及零件可以用Bezier曲线和面表示，在参数平面抓住一个连续参数定义一个国际标准参数曲线，如果所研究参数之一为0或1，这个曲线就刚好成为所包围的边界曲线，如果两个参数是连续的，就在小片表面上指定一个点。
•用给定的公差e计算进给步长值，产生误差的刀触点近似于面上的刀具路径，在这一步中，我们用直线插补近似代替刀具路径，进给步长s的值可以在保持给定误差不变时使用Bezier曲线的导数计算获得，而进给步长值是当前刀具路径上刀触点间的最大值，其中偏差不应超过给定的公差值e•把进给步长从物理邻域转变为参数邻域，进给步长值是由物理单元决定的而不是参数值u和v，而且被加工工件是用参数值（u,v）表示的Bezier曲线和面表示的因此要决定下一个刀触点，必须将进给步长值转变成参数邻域。
•将刀触点转变为刀位点，进给步长值的计算结果可以是刀具上任何刀触点，然而为了减少加工误差必须将刀触点转变为刀位点，刀具通过刀位点沿表面移动，参考公式：CL=CC+rn （其中r是球头刀具的半径，n是垂直于刀触点所在面的表面）。
•用给定的残高h计算行距值g，加工零件可以用一系列刀具路径近似表示，当国际标准参数曲线参数值达到当前曲线端点时，应当为下一步刀具路径计算g 值，而行距值是是在保持给定残高h的两个相邻刀具路径之间的最远距离。
•将行距从物理域转变到参数域，计算得到的行距值是物理域的，为了生成下一个刀具路径，转换行距值就有必要了。
•将刀触点转换为刀位点，将刀触点转换成刀位点，以便以刀位点数据文件存储。
3．推荐的方法3.1.进给步长函数刀具的路径用一系列精度由偏差控制的直线段近似表示，每一线段的长度都是一个进给步长，最大的偏差叫做公差，用一阶和二阶导数计算进给步长值，因此这个功能独立于表面类型，并适用于所有的二次可微的连续参数面，计算进给步长值的数学公式可以从面上国际标准参数曲线上获得，原理和使用条件如下。
条件1.（i）用集合Ω表示所有满足Lipschitz条件的f(x)，∣f(x3)- f(x4)∣≤K1∣X3-X4∣定值K1属于 (x1, x2), 并且f(x1) = y1,f(x2) =y2。
(ii) f(x1) 是满足f1(x1) =y1, f2(x2) =y2，, , x属于(x1,x3),x 属于(x1, x3), 且 ,f(x)属于集合Ω,其中所有x 属于(x1, x2)。
条件2. (i) f1(x) 和Ω定义如上；（ii）L(x)表示过点（(x1, y1) 和 (x2, y2).两点的直线，然后其中根据条件知，对于f(x)属于Ω，|f(x)–L(x)|的最大偏差可考虑Ω集合中f1(x)，这个偏差等式可表示为其中m =L′(x),并且令m=0可获得最大值为K1δ/2.因为被约束的导数满足 Lipschitz条件，所以使用以上的条件可以得到如下理论。
理论1：让f(x)成为变量，其中，其中x属于（a,b）,如果是f(x)在（a,b）内的近似直线，则，由于f(x)二次可微，意味f′(x)要满足Lipschitz条件我们又可以得到如下结论理论2：若f(x)二次可微并且 |f"(x)|≤K2对于x属于（a,b）,若是 f(x)在(a,b)细分s值后的近似直线则两个刀触点之间的距离可以由最大偏差e，K1、K2，决定，运用以上理论可知进给步长是,其中x属于，然后用他们代入公式可求s的最大值，其中，是f(x)在（a,b）的近似直线。
值得注意的是理论1与2适用于导数存在的情况，因为他们前提条件是一阶可导，二阶可导或二次可导，并且这个方法独立于面类型，并且适用于所有二次可微的参数曲线其中导数是偏导数，，偏导数国际标准参数曲线的正切,这一部分的数学表为： (1)其中m是贝瑞尔曲线在u上的度值，n是贝瑞尔曲线在v上的度值，我们可以改写等式1为： (2)不同的上标（1,0）意味着差别只在于第一个上标且 ,如果我们对v求偏导，不同只表现在第二个上标且因此对v面的偏导可以表示为： (3)更高的偏导可以表为： (4) 其中不同的算法是并且有以下的等式其中不同的算法是我们可以以任何顺序写混合偏导：我们可以用以上等式求面上一点的偏导和混合偏导,在面上的每一点P可以用以上等式求一次或二次偏导及 K1、K2,然后可以求得一定公差的最大进给步长值,用K2表示当前曲线二次偏导的最大值，则进给步长可以用公式表示为:S2=K2(ex8)，其中e是给定的公差。
3.2.例1的计算结果三次贝瑞尔曲线可用4个控制点表示，图3所示为4个用Matlab软件帮助作Castelijau算法而生成的控制点和由等式（7）计算而得的刀触点，图3中每个小圆（控制多边形的顶点）都是三次贝瑞尔曲线的控制点，曲线上的每个小圆代表将需转换为刀位点的刀触点，刀位点将用来生成加工代码，在这个例子中两个刀触点之间的最大距离为0.08英寸，总的生成了26个刀触点，设计曲线与刀触点直线插补之间的最大与最小偏差分别为0.000694英寸和0英寸，并带有给定的0.005英寸的公差，结果概括为如表1：单位=英寸表1.例一的结果第二栏代表测量公差的最大值与最小值，距离（第三栏）是两个刀触点在物理域的最大值；在参数域内，若用参数u=1约束曲线，那么最大距离是0.0401，根据这个结果，刀触点直线插补和曲线之间的偏差超过公差e后就没有意义了，因此计算进给步长值的算法非常适合与参数曲线进给步长函数，这样就减少了74%的刀触点，设计曲线用100个点表示而两个点的距离参数值为0.01英寸，然而我们可以用带有给定公差为0.05英寸的26个点近似代替曲线图3.贝瑞尔曲线与刀触点3.3.行距函数行距值g是残高h、刀具半径和弯曲部分半径值R的函数，这一部分我们形成了用残高s计算行距值的方法，设计平面可以分为凸面、凹面和平面，这些面的弯曲度可各自为正、负或零，因此我们考虑用不同例子来计算g。
首先，若平面为如图4所示,则图4.平面图5.凸面第二，如图5所示凸曲线，为了找凸面的行距值我们先找δ，δ是设计曲线刀具曲线路径之差：δ=OB-OA,为了找OA，我们首先用等式（8）计算g，由于行距值很小，我们可以用P(=g/2)作为初始值，因此第三，如图6所示的凹面，用同样的方法,我们可以计算凹面的行距值其中R是凹面在该处的弯曲半径，用以上等式当前曲线每个点的g值都计算得到图6.所示凹面3.4.区间到参数域的转换前面部分所描述的进给步长和行距值不是由参数值（u,v ）决定的而不是由物理单位决定的，因为被加工零件是由用u,v 描述的贝瑞尔面表示的，所以我们必须把带物理单位的进给步长和行距转变为参数值以便于计算面上的下一个刀触点，首先，我们考虑平行于x 轴而不是面上国际标准参数曲线方向的进给步长方向，以此获得u,v 参数值，相应也可得在物理域的进给步长值，如图7所示，其中S P 是当前参数曲线方向的进给步长值，s 是物理域方向的进给步长值，θ是进给步长在物理域的正切角，T 和参数曲线的正切可由如下公式计算：行距的方向可以用同样的方法求得，带有物理单位的s 、g 被转换为参数值u 、v 以便于计算参数曲线上的下一个刀具路径或刀触点，在物理域下的进给步长和行距可以通过使用泰勒扩展和Lin 、Koren 提出的误差补偿法求得 图7.刀具路径的方向4.结果并讨论4.1.工具 该推荐的方法已经投入使用，这有几个用建议的算法生成刀触点的零件，再用3轴并带有不同公差和残高的铣床对零件加工，该建议算法所用的硬件和软件如下：硬件：• 铣床：ProLIGHT1000加工中心• 3D 激光扫描器：LDI RPS 150软件:• MATLAB6.5，ZXY参数方向参数曲线物理方向• AUTOCAD2002，•探测器扫描控制，• GEOMAGIC QUALIFY5，• WPLM1000控制软件，建议的该算法经在个人电脑上(奔腾Ⅲ，1.0GHhz CPU,256Mb的物理内存)用软件MATLAB编码后，在Microsoft XP专业系统下运行，我们使用一块蜡加工成一个自由曲面并测量加工表面和所需零件之间的公差，加工后，使用带有探测器的扫描控制软件的3D激光设备扫描所加工表面。