1.1.3集合的基本运算一、教材分析本节课选自人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》必修1，第一章1.1.3集合的基本运算。

《课程标准》对本课内容的要求是：理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用venn图以及数轴表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。

在本节课的教学中应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解并集、交集、补集的概念，并能利用直观图进行集合的基本运算。

（数形结合）二、学情分析1、知识掌握上：学生已经学习了集合的含义，对集合间的基本关系已经有了初步认识，为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。

2、思维特征和生理特征：高一学生抽象思维能力较弱三、教学目标1、知识与技能目标：理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用venn图以及数轴表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。

2、过程与方法目标：在并集、交集定义形成讲解过程中，培养学生观察、比较、分析、概括等能力，培养学生抽象思维能力以及数形结合的能力；通过合作学习，提升学生交流3、情感态度与价值观目标：通过数学语言的描述，让学生感受到数学语言的简洁美。

通过各种语言的相互转化，让学生感受各种形式之间的和谐美。

四、教学重难点1、重点：交集、并集的概念，利用韦恩图与数轴进行交并的运算。

2、难点：交集、并集的概念，符号间的区别于联系。

五、教学设计（一）新课导入问题1学校举行运动会，参加跳高比赛的有80人，参加足球比赛的有100人，那么参加足球、跳高比赛的总共有多少人？能否说是180人？总共有哪几种情况？（1）总共有180人（180位同学每人只参加足球、跳高一项比赛）；（2）总共有100人（参加跳高比赛的80位同学均同时参加足球比赛）；（3）100<总人数<180人（部分同学既参加足球比赛又参加跳高比赛）。

若这里把参加跳高比赛的全体同学看作集合A，把参加足球比赛的全体同学看作集合B。

能否用集合的venn图表示法，表示上述三种情况呢？请同学们小组讨论并画出图像。

以上（1）（2）（3）三种情况体现了集合A、B间怎样的关系？联系上节课“集合间的基本关系”我们可以知道：（1）集合A、B无包含关系。

集合A与集合B没有重合部分，我们说集合A与集合B 相互独立；A⊆，这是我们上节课主要学到（2）集合A、B有包含关系。

集合A包含于集合B，B的内容；（3）集合A、B无包含关系。

集合A与集合B中有部分元素相同。

（二）新课讲授问题2对于集合A与集合B，下面这组图像中阴影部分分别表示什么？（1）（2）（3）A⊆时集合B中的元图中阴影部分表示集合A、B中全体元素，其中图（3）表示当B素即表示了集合A、B中全体元素。

问题3若把阴影部分记为集合C，请同学们举例出符合图像的集合A、B、C，并尝试用集合语言总结表达集合C所包含的含义。

请同学们根据图像（1）（2）（3）的特征，举例出集合A、B、C。

（例：（1）A={1，2，3，4}，B{2，3，4，5，6}，C={1，2，3，4，5，6}；（2）A={1，2，3}，B{4，5，6}，C={1，2，3，4，5，6}//A={x|0<x<3}，B={x|5<x<6}，C={x|0<x<3或5<x<6}；（3）A={1，2，3，4}，B{1，2，3，4，5，6}，C={1，2，3，4，5，6}=B）我们如何用集合语言总结表达集合C所包含的含义呢？在这里集合C中的元素是集合A、B中的全体元素，也可以说集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的。

设x∈C，因此x∈A或者x∈B。

用集合语言表达：C={x|x∈A或x∈B}。

（结合板书）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。

（板书）也就是说对于这里的集合C，C=A∪B。

对于并集的venn图表示，也就是图像（1）（2）（3）。

“或”的含义是：这里的“或”字与生活中的“或”字含义有所不同。

生活中的“或”常常是二选一、非彼即此的意思，举个例子如“我或你担任本班班长”意思是只有一个人能担任本班班长。

而并集中的“或”字的含义通常指集合的合并，如并集A∪B，是指所有属于集合A或属于集合B的元素，其包含三种情况：①x∈A，但x∉B；②x∉A，但x∈B；③x ∈A，且x∈B。

用venn图表示这三种情况如下。

另外，并集的“合并”之意与生活语言中的“合并”之意也有所不同，生活语言中的“合并”通常是将两堆东西合在一起，意味着数量的增加，而在集合语言中“合并”数量上并不一定增加，如当集合B=∅时，A∪B仍然等于A，元素个数并没有增加。

同时，不能认为A ∪B是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，要满足集合中元素的互异性，相同的元素即A与B的公共元素只能算作并集中的一个元素。

例题1设A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，求A∪B。

例题2设集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<3},求A∪B 与A∩B.我们可以在数轴上表示例题2中的并集。

A ∪B说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

作图时注意数轴三要素（原点、正方向、单位长度）求两个集合的并集的方法：（1）对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性。

（2）对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解，注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围。

并集的性质：我们再来看图像（3），在图像（3）中B A ⊆，集合B 中的元素即表示了集合A、B 中全体元素，因此A∪B=B，反之也成立。

由此我们得到并集的性质：①若B A ⊆，则A∪B=B，反之也成立现在我们考虑集合A、B 的一些特殊情况，可以得到并集的性质如下：②若B=A，则A∪A=A，任何集合本身的并集等于这个集合本身③若B=∅，则A∪∅=A，任何集合与空集的并集等于等于这个集合本身由并集的定义A∪B={x|x∈A 或x∈B}，或者从venn 图中，我们可知：④B A A ⊆，B A B ⊆，即任何集合都是该集合与另一个几个并集的子集。

若我们改变并集符号前后集合的位置，对运算结果是没有影响的，因此得到并集运算的交换律：⑤A∪B=B∪A，两个集合的并集满足交换律⑥（A∪B）∪C=A∪（B∪C），三个集合的并集满足结合律现在我改变图像中的阴影部分得到第二组图像，如下。

（4）（5）（6）问题2对于集合A 与集合B，上面这组图像中阴影部分分别表示什么？图中阴影部分表示集合A、B 中共有的元素，其中（5）表示集合A、B 无公共元素，（6）表示集合A 中元素为集合A、B 的公共元素。

问题3若把阴影部分记为集合C，请同学们举例出符合图像的集合A、B、C，并尝试用集合语言总结表达集合C 所包含的含义。

若把阴影部分记为集合C，同学们可否根据图像（4）（5）（6）的特征，举例出集合A、B、C？（例：（1）A={1，2，3，4}，B{2，3，4，5，6}，C={2，3，4}；（2）A={1，2，3}，B{4，5，6}，C=∅；（3）A={1，2，3，4}，B={1，2，3，4，5，6}，C={1，2，3，4}）我们如何用集合语言总结表达集合C 所包含的含义呢？在这里集合C 中的元素一定同时是集合A、B 中的元素。

设x∈C，因此x∈A 并且x∈B。

用集合语言表达：C={x|x∈A 且x∈B}。

交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，成为集合A 与集合B 的交集，记作A∩B（读作“A 交B”），即A∩B ={x|x∈A 且x∈B}。

（板书）也就是说对于这里的集合C=A∩B。

对于交集的venn 图表示，也就是图像（4）（5）（6）。

“且”的含义是：交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须是集合中的元素。

当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说集合A 与集合B 没有交集，而是集合A，B 的交集为空集，A∩B=∅，例如……交集的性质：我们再来看图像（5）、（6）。

在图像（5）中，集合A、B 无公共元素，即A∩B=∅（说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集）；在图像（6）中B A ⊆，集合A 中的元素即为集合A、B 的公共元素，因此A∩B=A，反之也成立。

由此我们得到交集的性质：①若B A ⊆，则A∩B=A，反之也成立，即任何集合同它子集的交集等于这个的子集现在我们考虑集合A、B 的一些特殊情况，可以得到交集的性质如下：②若B=A，则A∩A=A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身③若B=∅，则A∩∅=∅，即任何集合与空集的交集等于空集由交集的定义A∩B ={x|x∈A 且x∈B}，或者从venn 图中，我们可知：④A B A ⊆ ，B B A ⊆ ，两个集合的的交集是其中任一集合的子集。

若x ∈（A∩B ），则x ∈A 且x ∈B ；若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B若我们改变交集符号前后集合的位置，对运算结果是没有影响的，因此得到交集运算的交换律：⑤A∩B=B∩A，即两个集合的交集满足交换律⑥（A∩B）∩C=A∩（B∩C），即三个集合的交集满足结合律⑦（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∩C），（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），即三个集合间交、并集混合运算满足分配律。

例题3设A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，求A∩B。

例题4设集合A={x|-1<x<2}，集合B={x|1<x<3},求A∩B.我们可以在数轴上表示例题2中的交集。

A ∩B研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围。

例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数，在高中阶段，数的研究范围将进一步扩充。

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

（板书）补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作A C U ，即A C U ={x|x∈U，且x ∉A}。

（板书）全集是相对于研究问题而言的一个概念，他含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异。

补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集。