§ 4 Taylor 公式和极值问题(一) 教学目的：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件． (二) 教学内容：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件． 基本要求：(1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．(2) 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．(三) 教学建议：(1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题． (2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题．————————————————————一． 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法：例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z ∂∂∂.例10 xy arctg z =. 求二阶偏导数.上面两个例子中，关于y x 和,的不同顺序的两个二阶偏导数都相等，，但是这个结论并不对任何函数都成立，例如⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2222y x y x yx yx xy y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x y y x f x⎪⎩⎪⎨⎧=≠+--=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x x y x f y1lim)0,0(),0(lim)0,0(00-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆yy yf y f f y x x y xy1lim)0,0()0,(lim)0,0(0=∆∆=∆-∆=→∆→∆xx xf x f f y y y x yx由此可知，),(y x f 关于y x 和,的不同顺序的两个二阶混合偏导数与求次序有关。

那么在什么条件下两个二阶混合偏导数与求次序无关呢？定理17。

7 若),(),(y x f y x f yx xy 和都在),(00y x 连续，则),(),(0000y x f y x f yx xy =约定：今后除特别指出外，都假定相应的混合偏导数连续。

例11 ) , (y x x f z =. 求22x z∂∂和y x z∂∂∂2.验证或化简偏微分方程: 例12 22lnyx z +=. 证明22xz ∂∂ +22yz ∂∂0=. ( Laplace 方程 )例13 将方程0=∂∂-∂∂xu yyu x变为极坐标形式.解 xy arctgy x r r y r x =+=⇒==θθθ , .sin , cos 22.rx yx x xr =+=∂∂22,ry yr =∂∂ ,2ry x-=∂∂θ ,2rx y =∂∂θ.θθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u ry ru r x xu xr r u xu 2,θθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u rx r u r y y u y r r u yu 2;因此, θθθθ∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂u u ry x u ry ru r xy u rx ru r xy xu yyu x2222222 .方程化简为0=∂∂θu .例5试确定a 和b , 利用线性变换 by x t ay x s +=+= , 将方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu yx u xu化为02=∂∂∂ts u .解 tu su xt t u xs s u xu ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ ,tu bsu ayt t u ys s u yu ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂.22xu ∂∂=x ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂x s ∂∂+t s u ∂∂∂2x t ∂∂+s t u ∂∂∂2x s ∂∂+22t u ∂∂xt ∂∂= =22su ∂∂+2ts u ∂∂∂2+22tu ∂∂.y x u∂∂∂2=y ∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂y s ∂∂+t s u ∂∂∂2y t ∂∂+s t u ∂∂∂2y s ∂∂+22t u ∂∂yt ∂∂= =22su a∂∂+)(b a +ts u ∂∂∂2+b22tu ∂∂.22yu ∂∂=y ∂∂==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ t u b s u a 222s u a ∂∂+ab 2t s u ∂∂∂2+2b 22tu ∂∂. 因此 ,=∂∂+∂∂∂+∂∂2222234yu yx u xu)341(2a a ++=22su ∂∂ + ()6442ab b a +++ts u ∂∂∂2+ )341(2b b ++22tu ∂∂.令 03412=++a a , 1 , 31, 03412-=-=⇒=++b a b b 或31 , 1-=-=b a或 ……, 此时方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu yx u xu 化简为02=∂∂∂ts u .二 中值定理和泰勒公式.定理17.8 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续 , 在D 的所有内点处可微 . 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++.证 令 ) , ()(tk b th a f t ++=Φ，则)(t Φ是定义在]1,0[上的一元函数，满足一元函数中值定理，…对于闭凸区域上的情况: 见p.134 注意.推论 若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数. Taylor 公式:定理17.9 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数 , 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++ni n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000)., ()!1(1),(!1 ) , (θθ例4 求函数yx y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算.)08.1 (96.3三. 极值问题:1 极值的必要条件先看两个二元函数的图像一个是 椭圆抛物面 222),(y x y x f += 的图像 另一个是半球 221),(yx y x g --= 的图像x=-1:1/100:1; y=x; [x,y]=meshgrid(x,y);z1=2*x.^2+y.^2; z2=(1-x.^2-y.^2).^(1/2); z3=real(z2); subplot(1,2,1), mesh(x,y,z1) ,hold on subplot(1,2,2) , mesh(x,y,z3)椭圆抛物面在原点取得极小值 0)0,0(=f ，半球面在原点取得最大值 1)0,0(=g . 可以看出，在极值点处两个一阶偏导 ),(,),(0000y x f y x f y x 都为零，另外从二元函数极值的定义也不难看出, 若函数 ),(y x f 在点 ),(00y x 取得极值, 则一元函数),(,),(00y x f y x f 也必分别在 00,x x y y == 处取得极值，从而, 在极值点处如果偏导存在,两个一阶偏导必为零.定理 17.10 (极值必要条件) 若函数 ),(y x f 在点 ),(00y x P 存在偏导数, 且在点),(00y x P 取得极值, 则必有0),(),(0000==y x f y x f y x我们也称 ),(00y x P 为稳定点. 和一元函数极值一样(1) 这个定理只是极值存在的必要条件, 不是充分条件, 即稳定点不一定都是极值点; (2) 偏导数不存在的点也可能是极值点例 1 函数 1),(22+-=y x y x f 在原点 )0,0(两个偏导0)0,0()0,0(==y x f f但原点既不是 ),(y x f 的极大点也不是极小点 clf, x=-1:1/20:1; y=x; [x,y]=meshgrid(x,y); z=x.^2-y.^2+1; mesh(x,y,z)2 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛c bb a . 1） ),(y x g 是正定的 ⇔ 顺序主子式全 0 >, ),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;2） ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-kij ka , 其中kij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-kij ka .3） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的. 充分条件的讨论: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor 公式 , 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f =)(0P f x h +)(0P f y k +[])()()(2)(!21220020ρ+++kP f hk P f h P fyy xy xx.令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρo CkBhk Ahy x f k y h x f +++=-++.其中22kh +=ρ.可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有 i) 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ; ii) 0 , 02>-<BAC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;iii) 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;iv) 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .综上 , 有以下定理 .定理17.11 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数 , 0P 是驻点 . 则 i) ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点;ii) ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;iii) ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;iv) ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .例2 求函数 5126)(23+-+-=y x x y x f 的极值。