福建省福州市八县（市）一中2020-2021学年高二上学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、未知1．某单位有业务员和管理人员构成的职工160人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为20的样本，若样本中管理人员有7人，则该单位的职工中业务员有多少人（ ） A ．32人B ．56人C ．104人D ．112人2．袋内装有8个红球､2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（ ） A ．至少有一个白球；全部都是红球 B ．至少有一个白球；至少有一个红球 C ．恰有一个白球；恰有一个红球D ．恰有一个白球；全部都是红球3．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，椭圆C 的面积为，且离心率为12，则C 的标准方程为（ ） A ．22143x y +=B ．22112x y +=C ．22134x y +=D ．221163x y +=4．在区间11[,]22-上任取一个数x R ∀∉，使直线20x x -≤与圆0x R ∃∈相交的概率为（ ）A ．2000x x -≤B ．20x x -≤C ．0x R ∃∉D ．25．永泰县全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的离心率为（ ）A ．25B ．35C ．5D 6．已知双曲线C ：22221y x a b-=(a >0，b >0)，斜率为1的直线l 与双曲线C 交于不同的,A B两点，且线段AB 的中点为P (2，4)，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y = D．2y x =±7．第七届世界军运会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行.某电视台在19日至24日六天中共有7场直播(如下表所示)，张三打算选取其中的三场观看.则观看的任意两场直播中间至少间隔一天(如第一场19日观看直播则20日不能观看直播)的概率是（ ）A ．835B ．635C ．17D ．4358．已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,F F ，,P Q 分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且2=60QF P ∠︒，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于（ ） A ．4B ．C ．2D ．39．某校对甲､乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩(单位：分)用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲､乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（ ）A ．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分.B ．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散.C ．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数.D ．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数. 10．下列说法中错误的是（ ）A ．“8m =”是“椭圆2214x y m +=的离心率为2”的充要条件 B ．设,x y R ∈，命题“若220x y +≠，则0xy ≠”是真命题；C ．“42k -<<”是“方程2214+2x y k k+=-表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件D ．命题“若3x =，则2430x x -+=”的否命题是真命题11．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据如表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为ˆ 6.3 6.8yx =+，下列说法正确的是（ ）A ．看不清的数据★的值为34B ．回归直线ˆ 6.3 6.8yx =+必经过样本点(4，★) C ．回归系数6.3的含义是产量每增加1吨，相应的生产能耗实际增加6.3吨 D ．据此模型预测产量为7吨时，相应的生产能耗为50.9吨12．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)，抛物线2y =的准线过双曲线的左焦点，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的渐近线方程为y =±2xB ．双曲线C 的方程为2214x y -=C ．1k 2k 为定值14D ．存在点P ，使得1k +2k =213．某印刷厂的工人师傅为了了解112个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对112个印章进行编号为：01,02,03,,112，已知抽取的印张中最小的两个编号为05,13，则抽取的印张中最大的编号为_______.14．已知命题“2,(1)10x R x a x ∃∈+-+≤”是真命题，则a 的取值范围为____________.15．如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为____________米.16．已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点()2,4A ，过点F 的动直线l 与抛物线交于,M N 不同的两点，点M 在y 轴上的射影为点B ，设直线KM KN ,的斜率分别为1k 和2k .则MA MB +的最小值为_____________，12k k +的值为_____________.17．已知命题p ：对于任意x ∈R ，不等式()244210x m x --+>恒成立.命题q ：实数m 满足的方程221(0)2m x m a ay a +=>--表示双曲线；（1）当2a =时，若“p 或q ”为真，求实数m 的取值范围. （2）若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.18．小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔在某周的周一至周五的销售量及单支售价进行了调查，单支售价x 元和销售量y 支之间的数据如下表所示：（1）根据表格中的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）请由（1）所得的回归直线方程预测销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为0.56元，为达到日利润(日销售量×单支售价—日销售量×单支进价)最大，在（1）的前提下应该如何定价？(其中：回归直线方程ˆybx a =+，1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，5167i ii x y==∑，52116.6i i x ==∑)19．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为12,F F ，焦距为2，且经过点Q 12⎛- ⎝⎭，.直线l 过右焦点且不平行于坐标轴，l 与椭圆C 有两个不同的交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（1）点P 在椭圆C 上，求12PF PF ⋅的取值范围； （2）证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；20．为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高二年段学生的生物成绩进行赋分，具体方案如下：A 等级，排名等级占比7%，分数区间是83-100；B 等级，排名等级占比33%，分数区间是71-82；C 等级，排名等级占比40%，分数区间是59-70；D 等级，排名等级占比15%，分数区间是41-58；E 等级，排名等级占比5%，分数区间是30-40；现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a 的值；（2）以样本估计总体的办法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C 等级及以上(含C 等级)？（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50)和[50,60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中至少一人原始成绩在[40，50)内的概率.21．如图所示，已知圆221:(1)16F x y ++=上有一动点Q ，点2F 的坐标为(1,0)，四边形12QF F R 为平行四边形，线段1F R 的垂直平分线交2F R 于点P ，设点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点2F 的直线l 与曲线C 有两个不同的交点,A B ，问是否存在实数λ，使得2222AF BF AF BF λ+=⋅成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由.二、解答题22．已知双曲线C 的离心率为3，点()在双曲线上，且抛物线22y px =()0p >的焦点F 与双曲线的一个焦点重合.（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F 作一条直线l 交抛物线于A ，B 两点，当直线l 求线段AB 的长度.。