绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项： 1．答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。

回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│, B ={}(,)x y y x =│, 则A I B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i, 则∣z ∣= A ．12B ．22C ．2D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律, 提高旅游服务质量, 收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据, 绘制了下面的折线图．根据该折线图, 下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月, 波动性更小, 变化比较平稳4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点, 则C 的方程为 A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π), 则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图, 为使输出S 的值小于91, 则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1, 它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上, 则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1, 公差不为0．若a 2, a 3, a 6成等比数列, 则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=, （a >b >0）的左、右顶点分别为A 1, A 2, 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切, 则C 的离心率为A．3B．3C．3D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点, 则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中, AB=1, AD=2, 动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r =λ AB u u u r +μAD u u u r, 则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。

13．若x , y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩, 则z 34x y =-的最小值为__________．14．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3, 则a 4 = ___________．15．设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________。

16．a , b 为空间中两条互相垂直的直线, 等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直, 斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转, 有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时, AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时, AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°；其中正确的是________。

（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题, 考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知sin A+3cos A=0, a=27,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点, 且AD AC,求△ABD的面积．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同, 进货成本每瓶4元, 售价每瓶6元, 未售出的酸奶降价处理, 以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验, 每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25, 需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20, 25）, 需求量为300瓶；如果最高气温低于20, 需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划, 统计了前三年六月份各天的最高气温数据, 得下面的频数分布表：最高气温[10, 15）[15, 20）[20, 25）[25, 30）[30, 35）[35, 40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）, 当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时, Y的数学期望达到最大值？19．（12分）如图, 四面体ABCD中, △ABC是正三角形, △ACD是直角三角形, ∠ABD=∠CBD, AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E, 若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分, 求二面角D–AE–C的余弦值．20．（12分）已知抛物线C ：y 2=2x , 过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点, 圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4, -2）, 求直线l 与圆M 的方程． 21．（12分）已知函数()f x =x ﹣1﹣a ln x ． （1）若()0f x ≥ , 求a 的值；（2）设m 为整数, 且对于任意正整数n , 21111++1+)222nK ()(1)(﹤m , 求m 的最小值．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中, 直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数）, 直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P , 当k 变化时, P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设l 3：ρ(cos θ+sin θ=0, M 为l 3与C 的交点, 求M 的极径． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空, 求m 的取值范围．绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题正式答案一、选择题1.B2.C3.A4.C5.B6.D7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A二、填空题13. -1 14. -8 15.1（-，+）4 16. ②③三、解答题17.解：（1）由已知得tanA=π2A=3在 △ABC 中, 由余弦定理得2222844cos+2-24=03c 6c c c c c π=+-=-，即解得（舍去），=4 （2）有题设可得ππ∠∠=∠-∠==，所以26CAD BAD BAC CAD故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为π=g g g 1sin 26112AB AD AC AD 又△ABC的面积为⨯⨯∠=∆142sin 2BAC ABD 18.解：（1）由题意知, X 所有的可能取值为200,300,500, 由表格数据知()2162000.290P X +=== ()363000.490P X === ()25745000.490P X ++===.因此X 的分布列为⑵由题意知至少为200, 因此只需考虑200500n ≤≤当300500n ≤≤时,若最高气温不低于25, 则Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间[)20，,25, 则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n; 若最高气温低于20, 则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×0.4+（1200-2n ）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当200300n <≤时,若最高气温不低于20, 则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20, 则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n ×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n所以n=300时, Y 的数学期望达到最大值, 最大值为520元。

19.解：（1）由题设可得, ,ABD CBD AD DC ∆≅∆=从而 又ACD ∆是直角三角形, 所以0=90ACD ∠ 取AC 的中点O, 连接DO,BO,则DO ⊥AC,DO=AO 又由于ABC BO AC ∆⊥是正三角形，故 所以DOB D AC B ∠--为二面角的平面角 2222222220,Rt AOB BO AO AB AB BD BO DO BO AO AB BD ACD ABC∆+==+=+==∠⊥在中，又所以，故DOB=90所以平面平面（2）由题设及（1）知, OA,OB,OD 两两垂直, 以O 为坐标原点, OA u u u r的方向为x 轴正方向,OAu u u r 为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -, 则-(1，0，0),(0，3，(1，0，0),(0，0，1)A B C D由题设知, 四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12, 从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12, 即E 为DB 的中点, 得E 310，，22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故()()311，0，1，2，0，0，1，，2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量,则00，即100，22x z AD x y z AE -+=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨-++==⎪⎪⎩⎩u u u r g u u u r g n n可取11=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭n设m 是平面AEC 的法向量, 则0，0，AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg m m同理可得(01,=-m则7cos ,==g n m n m n m 所以二面角D-AE-C的余弦值为720.解（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x g 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m , 圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4, -2）, 因此0AP BP =u u u r u u u rg ,故()()()()121244220x x y y --+++=即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x , 所以2210m m --=, 解得11或2m m ==-.当m=1时, 直线l 的方程为x-y-2=0, 圆心M 的坐标为（3,1）, 圆M , 圆M 的方程为()()223110x y -+-= 当12m =-时, 直线l 的方程为240x y +-=, 圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭, 圆M 的半, 圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21.解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤, 因为11=-+2＜022f a ln ⎛⎫⎪⎝⎭, 所以不满足题意；②若＞0a , 由()1a x a f 'x x x-=-=知, 当()0x ,a ∈时, ()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时, ()＞0f 'x , 所以()f x 在()0,a 单调递减, 在()，+a ∞单调递增, 故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点.由于()10f =, 所以当且仅当a =1时, ()0f x ≥. 故a =1（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时, 1＞0x ln x -- 令1=1+2nx 得111+＜22n n ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 从而 2211111111++1+++1+＜+++=1-＜12222222n n n ln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故21111+1+1+＜222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而231111+1+1+＞2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以m 的最小值为3. 23.解：（1）()3＜121123＞2,x f x x ,x ,x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩ 当＜1x -时, ()1f x ≥无解；当12x -≤≤时, 由()1f x ≥得, 211x -≥, 解得12x ≤≤ 当＞2x 时, 由()1f x ≥解得＞2x .所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥.（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+, 而 22212+1+235=--+2454x x x x x x x xx +---+≤--+⎛⎫ ⎪⎝⎭≤ 且当32x =时, 2512=4x x x x +---+. 故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦22.解：（1）消去参数t 得l 1的普通方程()12l :y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()212l :y x k=+ 设P （x,y ）,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩, 消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠（2）C 的极坐标方程为()()22240＜＜2cos sin ,r q q q p q p -=≠联立()()2224+cos sin cos sinr q q r q q ⎧-=⎪⎨⎪⎩得()=2+cos sin cos sin q q q q -.故13tanq =-, 从而2291=，=1010cos sin q q代入()222-=4cos sin r q q 得2=5r , 所以交点M .。