问题43推理问题的常见求解策略一、考情分析推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程,它包括合情推理与演绎推理,合情推理又包括归纳推理和类比推理,归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,由部分到整体、归纳推理由个别到一般的推理类比；推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,它是由特殊到特殊的推理；演绎推理从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论．演绎推理是由一般到特殊的推理．高考中归纳推理和类比推理常以客观题形式出现,演绎推理常和其他知识交汇,以解答题形式出现,下面分别总结几类推理问题的求解策略,共同学们参考.二、经验分享1.归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点,注意是纵向看,找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性．2.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行类比,提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．3.演绎推理是由一般到特殊的推理,常用的一般模式为三段论,演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提,一般地,若大前提不明确时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．4.合情推理在近年来的高考中,考查频率逐渐增大,题型多为选择、填空题,难度为中档．解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题,常因条件不足,了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题,应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由,再去类比另一类问题．三、知识拓展数学史上的著名推理问题1. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对20213F =+=,121215F =+=,2222117F =+=,32321257F =+=,4242165537F =+=的观察,发现其结果都是素数,于是提出猜想：对所有的自然数n ,任何形如221nn F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉,发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数,推翻费马猜想. 2. 四色猜想：1852年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用1200个小时,作了100亿逻辑判断,完成证明. 四、题型分析（一）归纳推理的求解策略 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．(2)归纳推理是一种重要的思维方法,但结果的正确性还需进一步证明,一般地,考查的个体越多,归纳的结论可靠性越大．因此在进行归纳推理时,当规律不明显时,要尽可能多地分析特殊情况,由此发现其中的规律,从而获得一般结论．(3)归纳推理是每年高考的常考内容,题型多为选择题和填空题,难度稍大,属中高档题．高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：①数值的归纳；②代数式的归纳；③图形的归纳．【例1】某种平面分形图如图所示,一级分形图是由一点出发的三条线段,长度相等,两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得到n 级分形图．n级分形图中共有________条线段．【分析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一级分形图有3＝(3×2－3)条线段,二级分形图有9＝(3×22－3)条线段,三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段,按此规律n级分形图中的线段条数a n＝(3×2n－3)(n∈N*)．【答案】a n＝(3×2n－3)(n∈N*)【点评】(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；(2)归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的；(3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用．【小试牛刀】【江西省南昌市2019届高三第一次模拟】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为( )A．4072 B．2026 C．4096 D．2048【答案】A【解析】由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为S n2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T n，可得当n＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选：A ．（二）类比推理的求解策略在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误．类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法． (1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.【例2】若等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,前n 项的和为S n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列,且通项为S n n ＝a 1＋(n－1)·d2.类似地,请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b n }的首项为b 1,公比为q ,前n 项的积为T n ,则数列________为等比数列,通项为________．【分析】解题的关键是找出等差数列与等比数列性质的关联【点评】因为在等差数列{a n }中前n 项的和为S n 的通项,且写成了S n n ＝a 1＋(n －1)·d2,所以在等比数列{b n }中应研究前n 项的积为T n 的开n 方的形式,等差数列中的求和类比等比数列中的乘积,类比可得：数列{n T n }为等比数列,通项为n T n ＝b 1·(q )n －1.【点评】等差数列与等比数列的类比,要注意运算的转换：和差→积商,乘积→乘方【小试牛刀】在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1,外接圆面积为S 2,则S 1S 2＝14,推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ­ABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1V 2＝________．【答案】127【解析】正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1,故正四面体P ­ABC 的内切球体积为V 1,外接球体积为V 2,则V 1V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.（三）演绎推理的求解策略演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式,是一种必然性推理．演绎推理的模式为：三段论⎩⎪⎨⎪⎧①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做 出的判断.应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提,什么是小前提,如果大前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的．如果大前提错误,尽管推理形式是正确的,所得结论也是错误的．【例3】数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1＝1,a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明： (1)数列{S nn }是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【证明】(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ,a n ＋1＝n ＋2n S n ,∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n ),即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ,(小前提)故{S nn }是以2为公比,1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2),∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2),(小前提)又a 2＝3S 1＝3,S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1,(小前提) ∴对于任意正整数n ,都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)【点评】“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论；常见易错点是对大前提“凭空想象、思维定势、想当然”,从而出错,或者小前提与大前提“不兼容”“不包容”“互补”而出错．【小试牛刀】【陕西省2019届高三第二次教学质量检测】一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ） A ．若，则乙有必赢的策略B ．若，则甲有必赢的策略C．若，则甲有必赢的策略D．若，则乙有必赢的策略【答案】A【解析】若，则乙有必赢的策略。

（1）若乙抓1球，甲抓1球时，乙再抓3球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。

（2）若乙抓1球，甲抓2球时，乙再抓2球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。

（3）若乙抓1球，甲抓3球时，乙再抓1球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球。