第三章概率单元测试2一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案均不对[答案] C[解析] 根据互斥事件和对立事件的定义，由题设易知两事件互斥但不对立．2．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：①两球都不是白球；②两球中恰有一白球；③两球中至少有一个白球．其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是 ( )A．①② B．①③C．②③ D．①②③[答案] A[解析] 从口袋内一次取出2个球，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件；而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．3．下面是古典概型的是( )A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B．为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将正整数作为基本事件时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止[答案] C[解析] 抛掷两枚骰子，所得点数之和为2,3,4，…，12中的任意一个，但它们不是等可能出现的，故以所得点数之和作为基本事件，不是古典概型；求任意一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件，有无穷多个，故不是古典概型；从甲地到乙地共n 条路线，选任一条路线都是等可能的，而最短路线只有一条，其概率为1n是古典概型；抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止，基本事件空间不确定．4．在5件产品中，有4件正品，从中任取2件，2件都是正品的概率是( ) A.45 B.15 C.35D.25[答案] C[解析] 将正品编号为1,2,3,4，次品编号为5，所有可能取法构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共10种，其中两件都是正品的取法有6种，∴概率P ＝610＝35.5．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一黑球的概率是( ) A.15 B.45 C.13D.12 [答案] B[解析] 从袋中任取2个球，有15种等可能取法(不妨将黑球编号为黑1、黑2、黑3，将白球编号为白1、白2、白3)．取出的两个球都是白球有3种等可能取法，取出的两个球，一白一黑有9种等可能取法，∴事件A ＝“取出的两个球至多1黑”，共有9＋3＝12种取法，∴P (A )＝1215＝45.[点评] “至多一黑”的对立事件为“两个都是黑球”故可用对立事件求解．6．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P 1、P 2、P 3，则( ) A ．P 1＝P 2<P 3 B ．P 1<P 2<P 3 C ．P 1<P 2＝P 3 D ．P 3＝P 2<P 1 [答案] B[解析] 点数之和为12的只有一次(6,6)，∴P 1＝136；点数之和为11的有两次(5,6)和(6,5)，∴P 2＝236＝118，点数之和为10的有三次(4,6)，(5,5)和(6,4)，∴P 3＝336＝112.7．A 是圆上固定的一点，在圆上其它位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为( )A.12 B.23 C.32D.14[答案] B[解析] 这是一个几何概型的题目，要使弦长大于半径，只要A ′选在如图所示的上．∵AA 1′＝AA 2′＝R ，OA ＝OA 1′＝AA 1′＝R ，∴∠A 1′OA ＝60°，∠AOA 2′＝60°，∴∠A 1′OA 2′＝120°，它所对的弧长为13圆周，故选B.8．如果下了课后，教室里最后还剩下3位女同学，2位男同学，一会儿又走了一位女同学．如果没有两位同学一块儿走，则下一位是男同学走的可能性为( )A.13 B.14 C.12D.15[答案] C[解析] 已知走了一位女同学，还剩下两位女同学和两位男同学，所有走的可能顺序为(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)一共6种．那么下一位是男同学的可能只有(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，故P ＝36＝12.或因为又走了一个女同学，还有两男、两女四位同学，男、女生人数相等，故有几种男生先走的情形，就有几种女生先走的情形，∴下一位走的是男同学的可能性为12.9．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，下列事件的概率：(1)豆子落在红色区域概率为49；(2)豆子落在黄色区域概率为13；(3)豆子落在绿色区域概率为29；(4)豆子落在红色或绿色区域概率为13；(5)豆子落在黄色或绿色区域概率为49.其中正确的结论有( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个[答案] B[解析] 这是几何概型问题，一颗豆子落在每一点的可能性都是一样的，计算每个事件发生的概率，也就是先求出事件发生的区域，一共9个方块．(1)P ＝4个方块9个方块＝49；(2)P ＝3个方块9个方块＝13；(3)P ＝2个方块9个方块＝29；(4)P ＝红色或绿色区域全部区域＝(4＋2)个方块9个方块＝23；(5)P ＝黄色或绿色区域全部区域＝3＋29＝59.∴只有(1)(2)(3)正确．10．甲、乙两人街头约会，约定谁先到后须等待10分钟，这时若另一个人还没有来就可离开．如果甲1点半到达．假设乙在1点到2点之间何时到达是等可能的，则甲、乙能会面的概率为( )A.12 B.13 C.14D.16[答案] B[解析] 设事件A 1：“乙在1点到1点20分内到达”； 事件A 2：“乙在1点20分到1点40分内到达”； 事件A 3：“乙在1点40分到2点内到达”．由题设知，以上三个事件的发生是等可能的．在A 1或A 3发生的情况下，甲、乙不能见面，在A 2发生的情况下，甲、乙能够见面．∴甲、乙能见到的概率为13.11．一个人连续射击2次，则下列各事件中，与事件“恰中一次”互斥但不对立的事件是( )A ．至多射中一次B ．至少射中一次C ．第一次射中D ．两次都不中[答案] D[解析] 记射中为1，不中为0，用(x ，y )表示第一次射击结果为x ，第二次射击结果为y ，则所有可能结果有：(1,0)，(1,1)，(0,1)，(0,0)，恰中一次包括(1,0)和(0,1)．当(1,0)发生时，A ，B ，C 都发生了，故选D.12．从－1、0、1、2这四个数中选出三个不同的数作为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为( )A.79B.712C.59D.512[答案] A[解析] 首先取a ，∵a ≠0，∴a 的取法有3种，再取b ，b 的取法有3种，最后取c ，c 的取法有2种，∴共组成不同的二次函数3×3×2＝18个．f (x )若有变号零点，不论a >0还是a <0，均应有Δ>0，即b 2－4ac >0，∴b 2>4ac .①首先b 取0时，a 、c 须异号， a ＝－1，则c 有2种，a 取1或2，则c 只能取－1，∴共有4种．②b ＝1时，若c ＝0，则a 有2种，若c ＝－1，a 只能取2. 若c ＝2，则a ＝－1，共有4种． ③若b ＝－1，则c 只能取0，有2种．④若b ＝2，取a 有2种，取c 有2种，共有2×2＝4种． 综上所述，满足b 2>4ac 的取法有4＋4＋2＋4＝14种， ∴所求概率P ＝1418＝79.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A 、B 两个不同的岗位，每个岗位至少1人，则甲、乙被分到同一岗位的概率为________．[答案] 13[解析] 所有可能分配方式如表∴P (M )＝26＝13.14．从编号为1至5的5个大小相同的球中任取2个，则所取球的最大号码不超过3的概率为________．[答案]310[解析] 用(x ，y )表示取出的两个球的号码为x 与y ，则所有基本事件构成集合． Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有基本事件10个．设A ＝“所取球的最大号码不超过3”，则A ＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}含基本事件3个， ∴P (A )＝310.15．沿田字型的路线从A 往N 走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C 的概率是______．[答案] 23[解析] 解法1：按规定要求从A 往N 走只能向右或向下，所有可能走法有：A →D →S →J →N ，A →D →C →J →N ，A →D →C →M →N ，A →B →C →J →N ，A →B →C →M →N ，A →B →F →M →N 共6种，其中经过C 点的走法有4种，∴所求概率P ＝46＝23.解法2：由于从A 点出发后只允许向右或向下走，记向右走为1，向下走为2，欲到达N 点必须两次向右，两次向下即有两个2两个1.∴基本事件空间Ω＝{(1122)，(1212)，(1221)，(2112)，(2121)，(2211)}共6种不同结果，而只有先右再下或先下再右两类情形经过C 点，即前两个数字必经一个1一个2，∴事件A ＝“经过C 点”含有的基本事件有(1212)，(1221)，(2112)，(2121)共4个，∴P (A )＝46＝23.16．如图为铺有1～36号地板砖的地面，现将一粒豆子随机地扔到地板上，豆子落在能被2或3整除的地板砖上的概率为________.[答案] 23[解析] 因为每块地板砖的面积相等，所以豆子落在每块地板砖上是等可能的，因为能被2整除的有18块，能被3整除的有12块，能被6整除的有6块，所以能被2或3整除的一共有18＋12－6＝24(块)，所以所求概率P ＝24S 36S ＝2436＝23.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.试问：(1)他乘火车或乘飞机来的概率； (2)他不乘轮船来的概率；(3)如果他来的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具来的．[解析] (1)记“他乘火车来”为事件A 1，“他乘轮船来”为事件A 2，“他乘汽车来”为事件A 3，“他乘飞机来”为事件A 4，这四个事件中任两个不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P (A 1∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7. 即他乘火车或乘飞机来的概率为0.7.(2)P (A 2)＝1－P (A 2)＝1－0.2＝0.8. 即他不乘轮船来的概率为0.8.(3)由于0.3＋0.2＝0.5,0.1＋0.4＝0.5，故他有可能是乘火车或轮船来的；也有可能是乘汽车或飞机来的．18．(本题满分12分)(08·宁夏海南文)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体． (1)求该总体的平均数；(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．[解析] (1)总体平均数为16(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5.(2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果．事件A 包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个基本结果．所以所求的概率为P (A )＝715.19．(本题满分12分)已知集合A ＝{－3，－1,0,2,4}，在平面直角坐标系中，点(x ，y )的坐标x ∈A ，y ∈A 且x ≠y ，计算：(1)点(x ，y )不在x 轴上的概率； (2)点(x ，y )在第二象限的概率． [解析] ∵x ∈A ，y ∈A 且x ≠y ， ∴数对(x ，y )的取法共有5×4＝20种．(1)事件A ＝“点(x ，y )不在x 轴上”即点(x ，y )的纵坐标y ≠0. ∵y ＝0的点的取法有4种，∴P (A )＝20－420＝45.(2)事件B ＝“点(x ，y )在第二象限”即x <0，y >0， ∴数对(x ，y )取法有：2×2＝4种，∴P (B )＝420＝15.20．(本题满分12分)一直角梯形ABCD ，AD ∥BC ，AD ＝1，AB ＝1，BC ＝2，随机向梯形围成平面区域内投一点P ，由P 向梯形的底作垂线l ，求l 能与梯形的部分边围成矩形的概率．[解析] 如图，作DE ⊥BC 垂足为E ，当点P 落在正方形ABED 内时，过P 作底的垂线，能与梯形的部分边围成一个矩形，∴概率P ＝正方形的面积梯形的面积＝23.21．(本题满分12分)从甲地到乙地有一班车9∶30到10∶00到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘9∶45到10∶15出发的汽车到丙地去，用随机模拟方法求他能赶上车的概率．[解析] 能赶上车的条件是到达乙地时，汽车还没有出发．我们可以用两组均匀随机数x 与y 来表示到达乙地的时间和汽车从乙地出发的时间，当x <y 时，他能赶上车，设事件A ＝“他能赶上车”．S 1 用计数器n 记录做了多少次试验，用计数器m 记录其中有多少次(x ，y )满足x <y ，首先置n ＝0，m ＝0；S 2 用变换rand( )*0.5＋9.5产生9.5～10之间的均匀随机数x 表示到达乙地时间，用变换rand( )*0.5＋9.75产生9.75～10.15之间的均匀随机数y 表示汽车从乙地出发的时间；S 3 判断他是否能赶上车，即是否满足x <y ，如果是，则计数器m 的值加1，即m ＝m ＋1，如果不是，则m 的值保持不变；S 4 表示随机试验次数的计数器n 的值加1，即n ＝n ＋1，如果还要继续试验，则返回步骤S 2继续执行，否则程序结束．程序结束后，事件A 发生的频率mn作为事件A 的概率的近似值．[点评] 解题的关键是找两个随机数表示甲地到乙地汽车到达的时间和乙地到丙地汽车的出发时间，自己把求其概率的解法写出．22．(本题满分14分)某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示：(1)依据频率分布直方图，估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分； (2)已知在[90,100]段的学生的成绩都不相同，且都在94分以上，现用简单随机抽样方法，从95,96,97,98,99,100这6个数中任取2个数，求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率．[解析] (1)由图知，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为，(0. 020＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.80，所以，抽样学生成绩的合格率是80%利用组中值估算抽样学生的平均分：x－＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72.估计这次考试的平均分是72分．(2)从95,96,97,98,99,100中抽取2个数，全部可能的基本事件有：(95,96)，(95,97)，(95,98)，(95,99)，(95,100)，(96,97)，(96,98)，(96,99)，(96,100)，(97,98)，(97,99)，(97,100)，(98,99)，(98,100)，(99,100)．共15个基本事件如果这2个数恰好是两个学生的成绩，则这2个学生在[90,100]段，而[90,100]的人数是3人，不妨设这3人的成绩是95,96,97.则事件A：“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本事件有：(95,96)，(95,97)，(96,97)．共有3个基本事件．所以所求的概率为P(A)＝315＝15.。