23.为“三力平衡”问题添一件新武器
“三力平衡”问题是静力学中一类典型问题，其解决方法已经十分丰富，可以利用正交分解、矢量三角形、矢量圆、静动法，甚至也可以利用摩擦角将四力化三力等。

本文针对三力动态平衡中问某力的大小变化趋势问题提出一种新思路，用微元法解决既不方便写表达式、画图又无法直观得出结论的动态平衡问题。

以下以三个题目为例作说明。

例1：一可视为质点的小球静止在光滑四分之一圆轨道的底部，现用绳子缓缓拉动小球，使小球从A点缓慢运动到B点，问在此过程中，绳子的拉力T和轨道的支持力N的大小变化情况？
解：本题的分析方法很多，郭威老师群里弄出了八九种办法，大家如果有兴趣可以去看一下，我们这里只讲如何使用微元法分析。

我们可以画出两个很接近时刻的受力分析图，以此来对比出T和N的变化趋势：
将受力图画在一起后可以容易看出,则拉力增大；同理
中不发生质变，因此拉力和支持力皆是单调变化。

例2：如图所示，在悬点O处用细线拉着小球，使它静止在半径一定的光滑半圆柱上，现使半圆柱从图示位置沿水平面缓慢向左移动，在小球到达最高点的过
程中
A.小球对圆柱面的压力增大
B.细线对小球的拉力大小不变
C.圆柱面对小球的支持力大小不变
D.小球对细线的拉力减小
解：这题大家可以尝试一下别的方法，比如解析法，是很有难度的。

以及常规的的力三角形法也行不通，现在用微元法就可以迎刃而解（这题是陕西咸阳刘源老师提供的）同样的我们直接画出两个相邻时刻的受力对比图。

可以看出本图的受力分析和上一题非常相似，容易判断，拉力减小，支持力增大。

例3：如图所示，在竖直平面内，根不可伸长的轻质软绳两端打结系于“V”形杆上的A.B两点，OM边竖直,O到A的距离等于O到B的距离。

软绳绕过光滑的滑轮，重物悬挂于滑轮下，开始时整个系统处于静止状态.θ小于90度。

若在纸面内绕O点顺时针方向缓慢转动“V"形杆，直到ON边竖直，绳结没有在杆上滑动。

则A处绳与杆间的摩擦力f
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
解：本题可以分为两个阶段，从初始时刻到AB连线水平，以及AB水平到ON竖直。

这前后两个阶段，我们可以根据“晾衣服”模型得到，绳子拉力前半
段增大，后半段减小。

后半段中，绳子拉力减小，绳子与OM杆夹角增大，则余弦值减小，因此后半段摩擦力减小。

主要考察前半段的摩擦力变化即可，有老师使用了解析法大家一样可以参考，这里同样我们尝试使用微元法分析。

如图所示，G是物体的重力，T1与T2是先后两个时刻的拉力，而OM正在顺时针转动，T在杆OM上的投影大小就是摩擦力f的大小，通过图示几何关系，我们可以容易地证得f2＜f1，即是说摩擦力在前半段过程也是减小的。

因此整个过程摩擦力一致减小。

总结：以上以三个例子说明了微元法在此类题目中的应用，使得三力平衡问题的分析方法更加丰富。

不过这只是我个人提出的一种方法尝试，还暂时没有深入思考本方法的适用范围边界。

希望能够引起大家的一点讨论。

[20190604王雨]。