湖南工业大学包装动力学考试资料1. 产品质量m = 10(kg)。

所用缓冲衬垫的弹性模量E = 800(kPa)，衬垫面积A = 400(cm 2)，衬垫厚度h 分别取1.10、2.16、5.28(cm)，试求这三种情况下衬垫的弹性常数及产品衬垫系统的固有频率。

解 衬垫厚度h =l.10(cm)时，其弹性常数为09.2910.140080=⨯==h EA k （kN/cm ） 产品衬垫系统的固有频率为70151009.2921215=⨯==ππm k f n （Hz ）衬垫厚度h =2.16(cm)时其弹性常数为81.1416.240080=⨯==h EA k （kN/cm ） 产品衬垫系统的固有频率为50151081.1421215=⨯==ππm k f n （Hz ） 衬垫厚度h =5.28(cm)时，其弹性常数为 06.628.540080=⨯==h EA k （kN/cm ） 产品衬垫系统的固有频率为32151006.621215=⨯==ππm k f n （Hz ）2.已知一包装件的产品质量m = 6 kg ，缓冲垫等效弹性系数为k = 600 N/m ，当其作无阻尼自由振动时给一个初始位移为 A = 0.04 m ，使之从静止开始振动，求其固有频率、位移方程。

3.已知一包装件产品质量 m = 8 kg ，缓冲垫等效弹性系数为k = 500 N/m ，将其简化为有阻尼单自由度模型，设阻尼比为0.05ζ=。

当其作有阻尼自由振动时给一个初始位移为 A = 0.02 m ，使之从静止开始振动，求振动周期、位移方程，并计算振动多少次后的振幅小于初始振幅的10%。

解：固有园频率 27.91m f ωπ====（rad/s ） 阻尼系数 7.910.050.395n ωζ==⨯= ①振动周期10.795T ===（s ）初始条件 00.02x = 00v =0.02A ===（m ）2000.02arctan arctan 87.140.3950.020x nx v α⎛⎫⎛=== ⎪⎪ ⎪+⨯+⎝⎭⎝⎭° ②位移方程 ()()0.3950.02sin 7.9187.14t x t e t -=+ ③振幅比 10.3950.795 1.369nT d ee ⨯===1110.1i i A A A d +=≤ 1100.1i d ≥=7.334i =约为8次4. 试根据有阻尼强迫振动的幅频特性曲线（图2）分析：当λ= 0、0＜λ、λ＞这三种情况下幅频特性曲线的特点。

5.产品中易损零件的固有频率f sn =70(Hz)，阻尼比s ζ=0.07，产品衬垫系统的阻尼比ζ=0.25，固有频率f n 分别为70、50、32(Hz)，已知振动环境的激振频率f =1～100(Hz)，加速度峰值g y m 3= ，试分析这三种情况下缓冲衬垫的减振效果。

解 如果不包装，产品将直接受到振动环境的激励，易损零件将在f =70(Hz)时发生共振，共振时的放大系数及加速度峰值为14.707.02121max =⨯==s H ζg g y H x m sm 42.21314.7max =⨯== (1)f n =70(Hz)的情况因为f n = f sn ，易损零件的两次共振归并为一次，发生在f＝70(Hz)时，共振时的放大系数及加速度峰值为97.1525.0425.04107.021*******222=⨯⨯+⨯=+=ζζζsH g g yH x m sm 91.47397.1522=⨯== 加速度峰值是无包装的2.24倍。

由此可见，缓冲衬垫在这种情况下不但不能减振，反而加剧了易损零件的振动。

(2) f n =50(Hz)的情况易损零件第—次共振发生在f =50(Hz)时，λs =50/70=0.71，其放大系数及加速度峰值为52.425.0425.04171.011441112222221=⨯⨯+-=+-=ζζλsHg g yH x m sm 56.13352.411=⨯== 易损零件第二次共振发生在f =70(Hz)时，λ =70/50=1.4，其放大系数及加速度峰值为()()54.74.125.044.114.125.04107.0214141212222222222222=⨯⨯-⨯⨯+⨯=+-+=λζλλζζsH g g yH x m sm 62.22354.722=⨯== 第二次共振的加速度峰值与无包装相等，有包装与无包装—样，所以缓冲衬垫没有减振效果。

(3) f n =32(Hz)的情况易损零件的第一次共振发生在f =32(Hz)时，λs =32/70=0.46，其放大系数及加速度峰值为84.225.0425.04146.011441112222221=⨯⨯+-=+-=ζζλsHg g yH x m sm 52.8384.211=⨯== 易损零件的第二次共振发生在f =70(Hz)时，λ =70/32=2.19，其放大系数及加速度峰值为()()68.219.225.0419.2119.225.04107.021*******222222222222=⨯⨯-⨯⨯+⨯=+-+=λζλλζζs Hg g yH x m sm 04.8368.222=⨯== 易损零件两次共振的强烈程度相当，加速度峰值比无包装下降了62％，缓冲衬垫的减振效果非常明显，这是因为f n =0.43fsn ，即产品衬垫系统的固有频率比零件系统的固有频率低得多。

6.有一包装件，产品质量为m = 2kg ，衬垫的弹性系数为k = 600N/m 。

将其放置在振动台上做实验，振动台输入的激振频率为3Hz ，最大输入加速度为0.02g ，求产品响应的最大位移和最大加速度值。

7.一个包装件系统，其固有频率 f = 20Hz ，阻尼比0.2ζ=，试求这个系统发生共振时的激振频率；已知外部激励振幅为0.5cm ，试求系统共振时的振幅；当阻尼比0.1ζ=时，再次求系统共振时的振幅。

8.有一包装件，产品质量为m = 4kg ，衬垫的弹性系数为k = 800N/m 。

阻尼比为0.25ζ=，试求这个系统共振时的激振频率；当外部激励振幅为0.2cm 时，求系统共振时的振幅。

9.将一个固有频率为 fm =16 Hz ，阻尼比为 的有阻尼弹簧质量系统固定在作简谐振动的振动台上，其激振频率为 f =12 Hz ，最大加速度为1g ，求：⑴ 振动台运动的振幅 ym ； ⑵ 放大系数β；⑶ 产品响应最大位移 xm ； ⑷ 产品响应最大加速度 。

10.测得产品中易损部件的固有频率 f m = 60 Hz ，产品质量m = 10kg ，已知振动环境的激振频率范围为 f =1～100 Hz 。

已知缓冲材料的弹性模量 E = 0.8 MPa ，缓冲衬垫与产品底部的接触面积为 A = 400cm 2 ，试设计产品—衬垫系统的衬垫厚度，使包装后能减小易损部件的响应加速度。

11.产品质量m ＝10(kg)，衬垫面积A ＝120(cm 2)，衬垫厚度h ＝3.6(cm)，缓冲材料的弹性模量E ＝700(kPa)，包装件的跌落高度H ＝75(cm)，不计系统的阻尼和衬垫的塑性变形，试求跌落冲击过程的衬垫最大变形、产品最大加速度、冲击持续时间和速度改变量。

解: 产品衬垫系统的固有频率为:ω＝243106.3101012010700--⨯⨯⨯⨯⨯=mh EA ＝153（rad/s ）f n ＝ππω21532=＝25（Hz ） 产品的冲击持续时间为:τ＝1/2 f n ＝1/（2×25）＝0.02（s ）衬垫的最大变形为:x m ＝15375.08.922⨯⨯=ωgH＝2 .51（cm ）产品的最大加速度为:xm ＝ωgH 2＝1530.75.892⨯⨯＝587（m/s 2）G m ＝8.9587=g xm ＝60 产品的速度改变量为:v ＝2gH 2＝20.75.892⨯⨯＝7.67 （m/s ）12.密度为0.02g/cm 3的泡沫聚乙稀的C —σm曲线如图2所示，取跌落高度H = 100cm ，衬垫厚度分别取2.5、4.5、6.5cm ，试绘制这种材料的Gm —σst 曲线。

13.在缓冲材料冲击机上对密度为0.035g/cm 3的聚苯乙烯泡沫塑料进行冲击试验，试样厚度分别为5cm 和10cm ，试验面积均为10cm ×10cm ，试验跌落高度均为60cm ，试验所得数据如表，试绘制其Gm —σst 曲线。

0.1ζ=m x /(m/s 637作业五1.一包装件中，产品质量m = 8kg ，产品脆值G = 45，衬垫面积A = 554cm 2，衬垫厚度h = 5.87cm ，衬垫材料为密度0.152g/cm 3的泡沫聚氨酯，其C —σm 曲线如图3所示，该包装件自高度为H =40cm 处跌落，试问内装产品是否安全？解 材料的C 值与m σ值必须满足下式： m m m W H Ah C σσσ1044.08.981087.55546=⨯⨯⨯⨯==-式中m σ的单位取MPa 。

由于采用对数坐标，在图上直线 C=104m σ被变换成了曲线，此曲线与m C σ-曲线的交点坐标：C = 4，m σ= 0.04MPa ，故产品最大加速度为26.2787.5404=⨯==h CH G m 显然，m G ＜G ，产品落地后是安全的。

2.产品质量m =10kg ，产品脆值G =60，设计跌落高度H =80cm ，选用密度为0.014g/cm3的泡沫聚苯乙烯（图4）对产品作局部缓冲包装，试计算衬垫的厚度和面积。

解 这种缓冲材料是图4中的曲线1，其最低点的坐标：C = 3.7，m σ= 260kPa = 26N/cm 2。

缓冲衬垫的厚度为93.460807.3=⨯==G CH h （cm ） 产品重力W = 98N ，缓冲衬垫的面积为226269860=⨯==m GW A σ（cm 2）对衬垫的稳定校核：()()4393.433.133.122=⨯=h （cm 2）A 被分为四块，5.564min ==AA (cm 2)。

显然，min A ＞（1.33h ）2，所以上面计算的衬垫面积与厚度是可取的。

3. 产品质量m = 15kg ，产品脆值G = 60，底面面积为40cm ×40cm ，设计跌落高度H = 80cm ，采用全面缓冲，试按最低点原则选择缓冲材料，并计算衬垫厚度。

如规定用密度为0.035g/cm 3的泡沫聚乙稀作缓冲材料（图4），试计算衬垫厚度。

解 作全面缓冲时，衬垫面积等于产品面积，即A = 1600cm 2。

衬垫最大应力为5.516008.91560=⨯⨯==A GW m σ（N /cm 2）55=（kPa ）在图4的横轴上取m σ=55kPa 的点，并向上作垂线，m C σ-曲线最低点在这条垂线上的材料为泡沫聚氯乙烯碎屑，其密度为0.08g/cm 3，C =6，故衬垫厚度为860806=⨯==G H Ch （cm ） 如果规定用ρ=0.035(g/cm 3)的泡沫聚乙烯作缓冲材料，则在图4的横轴上取m σ=55(kPa)的点，并向上作垂线与曲线④相交，该交点的纵坐标C =10.5就是所要求的缓冲系数，故衬垫厚度为1460805.10=⨯==G H C h （cm ）⑴泡沫聚苯乙烯 0.014 ⑹岩绵150 0.068 ⑾ 0.42 ⑵ 0.020 ⑺岩绵200 0.088 ⑿泡沫橡胶⑶ 0.033 ⑻泡沫聚氨酯 0.03 ⒀刨 花 0.07 ⑷泡沫聚乙烯 0.035 ⑼泡沫聚氨醚 0.03 ⒁泡沫聚苯乙烯碎屑 0.08 ⑸岩绵100 0.050 ⑽泡沫聚氯乙烯 0.31 ⒂塑料刨花 0.087图4 各种常用缓冲材料的m C σ-曲线图5 聚苯乙烯的最大加速度～静应力曲线计算结果表明，本例用0.035（g/cm 3）的泡沫聚苯乙烯也可以作面缓冲，只是厚度太大，不经济。