本章讨论参数优化问题。
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6.1.2 问题的提法及专用名词
.1 控制系统参数优化问题的一般提法
当被控对象已知，控制器的结构形式也已确定，需要 调整或寻找控制器的某些参数，使系统性能在某种指标意 义下达到最优。如果目标函数用Q(α)表示，需要优化的一 组参数用向量α表示，则对于数学模型为
图6.2
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在该例中，被控对象数学模型G(s)已知，PID控制器的 类型和形式已确定，为
Gc
(s)
KP
1 Ti s
Td
s
式中，Kp ,Ti , Td ,为控制器参数。在某个给定信号r(t)作用 下，测量系统输入量r(t)与输出量之间y(t)的偏差e(t) 。显 然， e(t)是Kp ,Ti , Td的函数。选择
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6.1.1 两类优化问题
当被控对象的数学模型以及对控制系统的技术要求给 定之后，为了确定控制器的结构和参数，需要进行大量 的计算。通常的工作步骤是：设计者根据对实际系统的 了解，先假设控制器参数的一组初始值，通过仿真或者 直接在实际系统上做试验，求出系统对典型输入的响应 特性；然后设计者分析所得结果，并依据理论分析和以 往的经验修改控制器参数；接着再进行仿真计算（或试 验）；再分析比较，再修改参数……。当记录了若干组 不同控制器参数下系统的响应特性后，从中选择出一组 参数，此时系统的性能最接近于预定的要求。
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（3）目标函数 在控制器的所有可行设计中，有些设计方案比另一些“ 要好些”。好的设计比差的设计肯定具有更好的某种（或 某些）性质。如果这种性质可以表示为寻优参数的一个可 计算的函数，那么只需要寻求这个函数的极值，就可以得 到“最优”的设计。这个用来使设计得以优化的函数就称 为目标函数，为了强调它对寻优参数的依赖性，将其写成 Q(α) 。同样，在工程问题中， Q(α)不一定能写成显函数 形式，只要求是“可计算”的函数。
（6.3）
等式终端约束 Sk(α, tf)=0,k=1,2,…,l
（6.4）
（式中，tf为终止时间）的情况下，寻找一组参数α=α*， 使目标函数满足
Q(α* ) min Q(α)
（6.5）
称α*为极小值点，对应的目标函数值Q(α*)为极小值。
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2.优化设计专用名词 （1）寻优参数 α为m维寻优参数向量，也称之为设计变量（或设计参数 ）。 （2）约束条件
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•当被控对象比较简单时以上做法可行。对于具有若干个
输入的多回路的复杂系统，即使花费了大量的时间和精力， 也不见得能够找到满足工程要求的最佳控制器结构以及相 应的参数。为了获得最佳的设计效果，出现了最优化技术。
•为此，提出两类优化问题。
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1．函数优化问题 函数优化问题也称为动态优化问题。在这类问题中，控 制器的结构并不知道，需要设计出满足某种优化条件的控 制器。
这个问题，所求的是一条关于f(t)的变化曲线，属于函数 优化问题，可以将它转化为参数优化问题。
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令
m
f (t) i xi (t) i 1
式中，xi (t) 是一些简单的已知函数。比如，可以取为这样，
xi
1
i1
i
i
t ti ti1 ti
,ti
t ti1
0
,其它
寻找一维最优函数 f *(t) 的问题就转化为寻找m个最优参数
x F (t, x,α)
（6.1）
的控制系统（式中，t为时间，x为n维状态向量，F为n维 系统运动方程的结构向量，α (1, 2,,m )T 为m维寻优参数 构成的向量），要求在满足
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不等式约束 hi(α)≤0,i=1,2,…,q
（6.2）
等式约束 gj(α)=0,j=1,2,…,p
在优化过程中，寻优参数的某些组合情况，可能会产生 一些明显不合理的设计，超出了某些允许范围。在数学上 可以化为约束条件。例如，在PID控制器的设计中，三个 参数应满足约束条件
Kp>0,Ti≥0, Td≥0 在许多工程问题中，约束条件往往不能写成寻优参数的 显函数形式，只要是“可计算”的函数就可以了。例如， 在PID控制系统中，超调量δ%是控制器参数Kp ,Ti , Td的函 数，但是不一定能具体写出来。
Q(K p ,Ti ,Td )
t f e2 (t)dt
0
作为指标函数。式中，tf为系统调节时间。
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问题提法是：如何选择合适的参数值K
* p
，Ti
*
，Td* ，使得目
标函数Q为最小，即有
Q(K
* p
,Ti* ,Td*
)
min
Q(K
p
,Ti
,Td
)
min t f e2 (t)dt 0
* 1
,
* 2
,
,
* m
的参数优化问题。
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2．参数优化问题 参数优化问题也称为静态优化问题。在这类问题中， 控制器的结构、形式已经确定，而需要调整或寻找控制器 的参数，使得系统性能在某种指标意义下达到最优。
【例6.2】对于如图6.2所示的PID控制系统，要求寻找理 想的控制器参数，使系统性能指标为最优。
系统满足的运动方程为
d2 y m
f (t)
dt 2
初始条件和终止条件为
y(0) y0 , y(0) 0
y(t f ) 0, y(t f ) 0
tf是函数f(t)的函数，即泛函。
取目标函数为
t f Q[ f (t)]
要求在约束条件 f (t) 1下，求函数 f *(t) ，使泛函tf为最小。
第6章 控制系统优化设计与仿真
6.1 控制系统参数优化的基本概念 6.2 单纯形法 6.3 控制系统参数优化设计的实例 小结
6.1 控制系统参数优化的基本概 念
6.1.1 两类优化问题 6.1.2 问题的提法及专用名词 6.1.3 寻优途径及优化方法的评价 6.1.4 控制系统优化设计中目标函数的构成 6.1.5 数字仿真在优化设计中的作用
【例6.1】 如图4.1 所示。假设 某运动物体的初始位置、初始速 度、最终位置和最终速度已知， 要 求 该 物 体 在 最 优 控 制 作 用 —— 力f(t)作用下从最初位置到达最终 位置所需的时间tf为最小。当然， 这个力应该是有界的，设其约束 条件为| f(t) |≤1。
图6.1
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