第7讲方程组的解法及应用◆考点链接1．理解二元一次方程（组）的定义；二元一次方程（组）的解的定义．2．能灵活地运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组．3．会解简单的三元一次方程组．＊4．会解简单的二元二次方程组．5．能利用方程组解应用题．注：标有“＊”号的是选讲内容．◆典例精析【例题1】已知2111x ax byy x ay b=-=⎧⎧⎨⎨=--=-⎩⎩是方程组的解，求a，b的值．解题思路：根据解的定义可得到关于a，b的方程组．答案：a=2，b=－3【例题2】解方程组：（1）226210*(2)23204()5()2;x y x yx y xx yx y x y+-⎧⎧+=--+=⎪⎨⎨-=⎩⎪+--=⎩解题思路：（1）题可先将方程组中的各方程化简，再用代入法或加减法解二元一次方程组．也可设x+y=a，x－y=b用换元法解．（2）题应首先由一次方程得x=2y再代入二次方程消去x．答案：（1）2723(2)1113xx xy yy⎧=⎪==⎧⎧⎪⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎪⎩【例题3】求使方程组的解x、y都是正数m的取值范围．解：由原方程组得7070250,250x m x m y m y m =-+>-+>⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨=->->⎩⎩⎩，解得52<m<7． 评析：这是一道方程与不等式的综合试题，需求出方程组的解，才能建立满足条件的不等式组． ◆探究实践【问题1】（重庆）某出租车公司有出租车100辆，•平均每天每车消耗的汽油为80元．为了减少环境污染，市场推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4 000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：•已改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的320，公司第二次再改造同样多的车辆后，所有改造后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费的25．问：（1）公司共改装了多少辆出租车？•改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了多少？（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节约的燃料费中收回成本？ 解题思路：抓住改装后的车辆每天的燃料费占未改装车辆每天燃料费的分率，建立方程组是解此题的关键．解：设公司第一次改装了y 辆出租车，•改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降的百分数为x ．3(1)80(100)802022(1)80(1002)80,531(100)(1002),25250%520.y x y y x y y y x y ⎧-⨯=-⨯⎪⎪⎨⎪-⨯=-⨯⎪⎩-=-⎧==⎪⎨⎪=⎩由题意得化简得解得答：公司第一次改装了20辆出租车，改装后的每辆出租车平均每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%．（2）设公司一次性将全部出租车改装，m 天后就可以从节约的燃料费中收回成本． 则100×80×40%×m=4000×100，解得m=125． 答：125天后，就可以从节省的燃料费中收回成本． 【问题2】（枣庄）某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉50kg （第二次多于第一次），共付款264元，•请问张强第一次、第二次各购买香蕉多少千克？解：设张强第一次购买香蕉x （kg ），第二次购买香蕉y （kg ），由题意，得0<x<25．（1） 由0<x≤20，y≤40时，由题意，得501465264,36.x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得 （2）当0<x≤20，y>40时，由题意，得 503264264,18.x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得（不合题意，舍去） （3）当20<x<25时，25<y<30，此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y ）=5•×50=•250<264（不合题意，舍去）．综合（1）（2）（3）可知，张强第一次购买香蕉14kg ，第二次购买香蕉36kg ． 评析：充分利用表中信息，分段讨论及解答是解此类题的关键．◆中考演练 一、选择题1．下列各方程中，是二元一次方程的为（ ）． A ．x 2+2y=9 B ．x+1y=2 C ．xy －1=0 D ．2x +y=42．若21x y =⎧⎨=⎩是方程kx －y=3的解，那么k 值是（ ）．A ．2B ．－2C ．1D ．－13．（济南）如图，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1，y 2的图象，设y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2，则方程组111222y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是（ ）．A ．22.23x x B y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 33..34x x C D y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩二、填空题1．已知关于x 、y 的方程x m －2－4y n －3=0是二元一次方程，则2m+n=________．2．已知方程3x+6y=8，则用含x 的代数式表示y ，则y=_______．3．若一个二元一次方程的解为21x y =⎧⎨=-⎩，则这个方程可以是______（只要求写出一个）．三、解答题 1．解方程组： （1）416525(2)216;3420;x y x z x y x z -=-+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩3(1)2(2)22(3)(4)2325211;2 3.22z x yb a b x y z a b a x y z =+⎧--+=⎧⎪⎪-+=⎨⎨--=-⎪⎪+-=⎩⎩2．（恩施）某校有两种类型的学生宿舍30间，大的宿舍每间可住8人，•小的每间可住5人，该校198个住宿生恰好住满这30间宿舍，问大、小宿舍各有多少间？◆实战模拟 一、选择题1．已知方程组53255451x y x y ax y x by +=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩与有相同的解，则a 、b 的值为（ ）． A ．14614 (2622)a a a a B C Db b b b ==-=-=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎩⎩ 2．若方程组3132x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解x ，y 满足0<x+y<1，则k 的取值范围是（ ）．A ．2<k<3B ．－1<k<0C ．－3<k<1D ．1<k<23．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219423.x yx y+=⎧⎨+=⎩．类似地，图2•所示的算筹图我们可以表述为（）．(1) (2)A．211211321926... 432743224234327 x y x y x y x yB C Dx y x y x y x y+=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=+=+=+=⎩⎩⎩⎩二、填空题1．已知方程组23434x y ax y a+=⎧⎨-=-⎩的解x与y的和是2，则a=_______．2．已知代数式kx+my+z中，当x=－1，y=3，z=4时，它的值等于0；当x=－1，y=－2，z=1时，它的值等于4，则k=_____，m=_____．3．关于x、y的二元一次方程组59x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k•的值是________．三、解答题:1．解下列各题:（1）在某校举办的足球赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．九年级三班足球队参加了12场比赛，共得22分，已知这个球队只输了2场，那么这支足球队胜了几场？平几场？（2）如图，在3×3的方程中，填写了一些代数式和数．①在图3中各行，各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值；②把满足（1）的其他6个数填入图4中的方格内．(3) (4)2．（盐城）某校书法兴趣准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，•超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，•按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余部分仍按零售价销售．（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元．这家文具店的A，B•两种类型毛笔的零售价各是多少？（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）的90%出售，现要购买A型毛笔a支（a>40），在新的销售方法和原销售方法中，•应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由．答案:中考演练一、1．D 2．A 3．B二、1．10 2．y=836x-3．x+2y=0三、1．（1）2 701(2)(3)(4)32535xx x ayy z bz=⎧===-⎧⎧⎧⎪=⎨⎨⎨⎨===-⎩⎩⎩⎪=⎩2．学校大的宿舍有16间，小的宿舍有14间实战模拟一、1．D 2．C 3．A二、1．5 2．－15，－753．34三、1．（1）胜6场，平4场（2）①x=－1，y=1 ②略2．（1）A型毛笔每支2元，B型毛笔每支3元（2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元则m=20×2+（a－20）×（2－0.4）=1.6a+8如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元，则n=a×2×90%=1.8a，于是n－m=1.8a－（1.6a+8）=0.2a－8，∵a>40，∴0.2a>8，∴n－m>0可见，当a>40时，用新的方法购买得的A型毛笔花钱多，故用原来的方法购买花钱少．。