6.4 埃尔米特(Hermite)插值❖6.4.1两点三次埃尔米特插值❖6.4.2低阶含导数项的插值6.4.1 两点三次埃尔米特插值许多实际问题不仅要求插值函数在节点上与原来的函数相等(满足插值条件)，而且还要求在节点上的各阶导数值也相等。
满足这些条件的插值，称为埃尔米特(Hermite)插值。
本节讨论已知两个节点的函数值和一阶导数的情形。
10x ,x ()()1100y x f ,y x f ==()()11'00'm x f ,m x f ==()()()()0100''110011,,,,():x x f x y f x y fx m f x m H x ====已知函数在两个互异节点上的函数值和一阶导数值求一个三次插值多项式，使其满足⎩⎨⎧====11'00'1100m )x (H ,m )x (H y )x (H ,y )x (H ()1.4.6插值多项式。
称为三次这样的Herm ite )x (H 方法，可设：采用构造插值基函数的11001100m )x (H m )x (H y )x (h y )x (h )x (H +++=()2.4.61.4.6)x (H ),x (H ),x (h ),x (h 1010的取值如表都为插值基函数，它们其中1.4.6表基函数函数值一阶导数10100001001x 0x 1x 1x 0()h x 1()h x 0()H x 1()H x多项式，因此可设：(x)最多是一个三次，另外，h )x (x (x)中必有因子0所以h )(x h )(x (x)，由于h 先求h 02101'100-==210100x x x x ))x x (b a ()x (h ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=得：利用求导数，再，对，为确定得利用0)x (h )x (h b 1a 1)x (h 0'000===10x x 2b --=于是得：21010100)x x x x )(x x x x 21()x (h ----+=()3.4.6同理可得：2101011)x x x x )(x x x x 2(1(x)h ----+=()4.4.6'000010120100()()()0()0()()()()H x H x H x H x H x x x x x H x ===--再求，由于且，故中必有因式，另外，是一个不超过三次的多项式，于是可设：210100)x x x x )(x x (a )x (H ---=，于是得：可得求导数，再利用，对是常数，为确定其中，1a 1,)(x H (x)H a a 0'00==2100)x x x x )(x x ()x (H ---=()5.4.6同理可得：21011)x x x x )(x (x (x)H ---=()6.4.6所示：形如图这四个插值基函数的图1.4.61x 1x )x (h 01x 1x )x (h 11x )x (H 00x 1x )x (H 10x ()()式。
满足。
容易验证，即可求出代入式将上述四个基函数2.4.6)()(2.4.6)(),(),(),(1010x H x H x H x H x h x h====多项式''例6.4.1：已知f(0)0,f(1)1,f (0)3,f (1)9，构造三次Hermite插值H(x).方法一：）先求基函数（）解：由（6.4.6~3.4.6220)x 1)(x 21(101x 010x 21)x (h -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=221x)x 23(010x 101x 21)x (h -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=()220x)x(1101x 0x (x)H -=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=()2211)x(x 010x 1x (x)H -=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=:于是x3x 12x 10)1x (x 9)x 1(x 3x )x 23(9x )1x (3)x 1(x 1x )x 23(0)x 1)(x 21()x (H 232222222+-=-+-+-=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+=）方法二：（待定系数法332210x a x a x a a )x (H +++=解：设2321'x a 3x a 2a )x (H ++=由所给插值条件得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+++======321'32101'0a 3a 2a )1(H 9a a a a )1(H 1a )0(H 3a )0(H 0解此方程组得：10a ,12a ,3a ,0a 3210=-===x3x 12x 10)x (H 23+-=于是)(1.4.6余项定理定理013(4)01(4)2201(),()[,],()[,][,],[,]()()()()()()4!H x x x Hermite f x C a b f x a b a b x x x a b x f R x f x H x x x x x ξξ∈∈=-=--设是关于两点三次插值，若在内存在。
其中，是包含的任意区间，则对任意给定的，总存在一点（依赖于）使()7.4.66.4.2 低阶含导数项的插值实际计算中，有一些含低阶导数项的插值，其插值条件不符合(6.4.1)式，因此，不能利用（6.4.2）式进行计算，而要采用一些特殊方法求解。
本节，通过几个典型例题，介绍几种求带导数插值的特殊方法。
满足条件：多项式P(x)，使其例6.4.2：求插值)x (f )x (p i i =()2,1,0i =)x (f )x (p 1'1'=并求余项表达式。
解：，故可设：及，通过点，并且的次数不超过由给定条件，可确定))x (f ,x ())x (f ,x ())x (f ,x ()x (p 3)x (p 221100)x x )(x x )(x x (a )x x )(x x )(x ,x ,x (f )x x )(x ,x (f )x (f )x (p 210102100100---+--+-+=)x x )(x x )(x x (a )x (q 210---+=)可得：(x f )(x 待定常数，由p 插值公式，a是为节点的Newton x ,x ,其中，q(x)是以x 1'1'210=)x (f )x x )(x x (a )x (q 1'21011'=--+)x x )(x x ()x (q )x (f a 21011'1'---=由此解出：可设：，根据为求余项0)x (R ),2,1,0i (,0)x (R )x (p )x (f )x (R 1'i ===-=)x x ()x x )(x x )(x (k )x (R 2210---=函数：为待定函数，构造辅助其中)x (k )x t ()x t )(x t )(x (k )t (p )t (f )t (2210-----=ϕξ，故：b]内至少有一个零点(t)在[a,定理得：罗尔为二重零点)反复利用b]内有5个零点(x 在区间[a,(x)0故(x)0,)(x )且0,1,2,(i 0,)(x 显然(4)11'i ϕϕ=ϕ=ϕ==ϕ0)x (k !4)(f )()4()4(=-ξ=ξϕ)(f !41)x (k )4(ξ=于是：故余项表达式为：)x x ()x x )(x x )((f !41)x (R 2210)4(---ξ=使其满足插值条件：插值多项式p(x)，例6.4.4：求4次40)1(p ,10)1(p ,0)1(p ,2)0(p ,1)0(p "''===-=-=得：，根据泰勒展开式，可为的插值多项式解：设满足条件)x (q 40)1(q ,10)1(q ,0)1(q "'===2)1x (20)1x (10)x (q -+-=令所求插值多项式：3)1x )(b ax ()x (q )x (p -++=列方程组：可由剩余两个插值条件：2)0(p ,1)0(p '-=-=⎩⎨⎧+--==--+-==-3ba 4010(0)p 2b 2010p(0)1'故：由此解出：11b ,5a =-=32)1)(115()1(20)1(10)(-+-+-+-=x x x x x p ，使其满足：次插值多项式：求例)(45.4.6x p 1)2(p ,1)1(p )1(p ,0)0(p )0(p ''=====使其满足：解：先构造)x (p 31)1(p )1(p ,0)0(p )0(p '33'33====b)(ax x (x)用待定系数法，设p 23+=得：由1)1(p )1(p '33==⎩⎨⎧=++=+1a )b a (21b a 2b ,1a =-=得：)x 2(x )x (p 23-=于是，得：222()(2)(1)p x x x cx x =-+-再令：41c 1)2(p ==，得由于是，得：22222)3x (x 41)1x (x 41)x 2(x )x (p -=-+-=。