《数学物理方法》电子教案
李高翔吴少平
第一篇复变函数论
第一章复变函数和解析函数
思考：复变函数和实变函数的区别和联系。
实变函数：实变量的函数。
例：x,y—实变量；f(x,y) —实变函数复变函数：复变量的函数，实变函数的推广。
实数→实变量→实变函数
复数→复变量→复变函数
§1.1 复数 （复数的定义，几何表示，运算规则）数的扩展：正数→负数→实数
在实数范围内：方程
当
时，没有实根。
→扩大数域，引进复数
02
=++c bx ax 042
<−=Δac b
设1Z =11x +iy 2Z 22=（x +iy ）,
则：以下的交换律、结合律、分配律成立
1221Z Z Z Z +=+ (加法交换律)
1221Z Z Z Z = (乘法交换律)
123123()()Z Z Z Z Z Z ++=++ (加法结合律)
123123()()Z Z Z Z Z Z = (乘法结合律)
1231323()Z Z Z Z Z Z Z +=+ (分配律)
§ 1.2 复变函数
复数 → 复变量 → 复变函数
一、复变函数的定义
定义:设E 为一复数集，如果E 上每一个复数z 有唯一确定的w 与之对应,则称在E 上确定了一个单值函数。
记为：w=f(z)w :z 的函数；z :w 的自变量(或宗量)
)
(E z ∈
如果对于自变量Z，对应着两个和两个以上的w，则称在E上确定了一个多值函数。
因为z=x+i y，所以复数的实部和虚部应是x,y的函数。
即
w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
——一个复变函数是两个实变函数的有序组合。
→实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。
1．点a的ε邻域：以复数a为圆心，任意小的正实数ε为半径的一个开圆，即满足|z-a|<ε的点的集合。
点a的无心邻域：0<|z-a|<ε（不包含a点）2．内点：若某点的ε邻域中所有的点属于D，则该点称为D的内点。
3．边界点：若某点不属于D，但其ε邻域内含有属于D的点，则该点称为D的边界点。
4．外点：若某点不属于D，且其ε邻域内不含有属于D的点，则该点称为D的外点。
单连通区域和复连通区域 (1)边界由一条闭合曲线L 组成； (2)边界由两条不相连接的闭合曲线 和 组成； (3)边界由三条不相连接的闭合曲线 ， 和 组成。
定义：连通阶数——区域不相连接的边界数目n。
n=1：单连通区域 n>1：复连通区域 区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。
连续变形：变形时不能通过不属于D 的区域。
降低连通阶数的方法：
做割线将两条边界线连接起来。
用处：可将单连通区域成立的定理推广到复连通区域。
1L 2L 3L 1L 2L
三、复变函数的几何意义——由z平面到w平面的映射单值实变量函数y=f（x），可表示为平面上的一条曲线。
单值复变量函数：自变量z=x+iy，复变函数w=f（z）=u+iv
四个实变量：x,y,u,v不能用二维、三维空间中的几何图形表示z，f（z）
办法：可用z平面上的点（x,y）表示自变量z的值，而用另一个w平面上的点（u,v）表示复变函数w=f（z）
=u+iv的值。
对应关系f（z）：从z平面到w平面的一个映射——复变函
数的几何意义
四、初等复变函数（类型，性质）
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数
初等函数：以上基本初等函数经有限次四则运算及有限项复合而得到
实变函数的性质：奇偶性，周期性，单调性,有限性, …
对于复变函数，除了关心上述性质外，还关心：
实变函数的公式能否推广？
新的性质？
补充：全微分、高阶全微分
一元函数y=f(x)，y关于x微分的特性：
1.它与自变量的改变成正比；
2.当自变量的改变趋于零时，它与函数的改变量之差是较自变量的改变量更高阶的无穷小。
定理：若 及 在点(x ,y )及某一邻域内存在，且在这
一点它们都连续，则函数u =f (x ,y )在该点可微。
),('y x f x ),('y x f y 证明：已设 存在，当 充分小时，应用中值定理： 在点(x ,y )连续)],(),([)],(),([),(),(y x f y x x f y x x f y y x x f y x f y y x x f u −Δ++Δ+−Δ+Δ+=−Δ+Δ+=Δ'',y x f f y x ΔΔ,)1),(0(),(),(212'1'<<ΔΔ++ΔΔ+Δ+=Δθθθθx y x x f y y y x x f u x y '',y x f f ⇒
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