函数的单调性与最值1．函数的单调性 (1)单调函数的定义图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( √ ) 题组二 教材改编2．[P39B 组T1]函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________． 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3．[P31例4]函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案 24．[P44A 组T9]若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三 易错自纠5．函数y ＝212log (4)x -的单调递减区间为________．答案 (2，＋∞)6．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －6解析 由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞， 令－a2＝3，得a ＝－6.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性典例 (1)函数y ＝212log (231)x x －＋的单调递减区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 A解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞)． 令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝12log t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18， ∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调递增区间为(1，＋∞)． 又y ＝12log t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝212log (231)x x －＋的单调递减区间为(1，＋∞)．(2)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________． 答案 [－1,0]，[1，＋∞)解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)． 命题点2 解析式含参数的函数的单调性典例 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性．解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又因为1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)， 故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 引申探究如何用导数法求解本例？解 因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8，又1＜a ＜3， 所以2ax 3－1＞0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练 (1)(2017·郑州模拟)函数y ＝22311()3x x -+的单调递增区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 B解析 易知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，t ＝2x 2－3x ＋1的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. ∴函数y ＝22311()3x x -+的单调递增区间是⎝⎛⎦⎤－∞，34. (2)函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，32 解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0. 作出该函数的图象，观察图象知单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32.题型二 函数的最值1．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (x )的最小值是________．答案 26－6解析 当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x ＞1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.3．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________. 答案 25解析 由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小典例 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式典例 已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为____________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞) 解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 命题点3 求参数范围典例 (1)(2018·郑州模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log ax ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13 D.⎣⎡⎭⎫17，1答案 (1)C (2)C解析 (1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.∴a 的取值范围是a ≤－3.(2)由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1.(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13， ∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫17，13.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)(2017·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (19log x )>0的解集为________________．答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增．∴f (19log x )＞f ⎝⎛⎭⎫12或f (19log x )＞f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴19log x ＞12或－12＜19log x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3.1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减答案 C解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的． 2．(2017·河南中原名校第一次质检)函数y ＝212log (6)x x -++的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6＞0，得－2＜x ＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A.3．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x答案 D解析 y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1,1)上为增函数；y ＝cos x 在区间(－1,1)上不是单调函数；y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－1,1)上为减函数． 4．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞) 答案 C解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则a >0且a －1≥0，即a ≥1.5．(2017·天津)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．c <a <b答案 C解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25)． 又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c . 故选C.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值， 需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________． 答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0， 解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________． 答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数g (x )的图象如图所示，其单调递减区间为[0,1)．9．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是______________． 答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a， ∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.11．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，且f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1 ＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1).由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. 12．函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．解 f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －a 22－2a ＋2， ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a <4时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去． ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.13．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a ＞0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a 的值是________． 答案 8解析 f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧ x (2x －a )，x ＞a 2，－x (2x －a )，x ≤a 2(a ＞0)，作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a 2，所以⎩⎨⎧ a 4≤2，a 2≥4，解得a ＝8.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝⎛⎭⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )．则f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 答案 34解析 由①③，令x ＝0，可得f (1)＝1.由②，令x ＝1，可得f ⎝⎛⎭⎫13＝12f (1)＝12. 令x ＝13，可得f ⎝⎛⎭⎫19＝12f ⎝⎛⎭⎫13＝14. 由③结合f ⎝⎛⎭⎫13＝12，可知f ⎝⎛⎭⎫23＝12， 令x ＝23，可得f ⎝⎛⎭⎫29＝12f ⎝⎛⎭⎫23＝14， 因为19<18<29且函数f (x )在[0,1]上为非减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫18＝14，所以f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝34.16．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2， ∵1≤x 1<x 2，∴x 1x 2>1，∴2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋a >0，x ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧a >－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝－3.∴a >－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．。