• 度量同一对象得到的数据也构成总体，数据之间的差异 是绝对的，因为存在不可消除的随机测量误差；
• 个体表现为某个数值是随机的，但是，它们取得某个数 值的机会是不同的，即它们按一定的规律取值，即它们 的取值与确定的概率相对应。
样本和样本容量
• 总体中抽出若干个个体组成的集体称为样本。样本中 包含的个体的个数称为样本的容量，又称为样本的大 小。
Var(x+y)=Var(x )+Var(y )=Var(x-y) • Var(a+bx)=b2Var(x) • a,b为常数，x,y为两个相互独立的随机变量，则
(ax+by)=a2Var(x)+b2Var(y) • Var(x)=E(x2)-(E(x))2
数学期望与方差的图示
• 数学期望描述随机变量的集中程度，方差描述随机变 量的分散程度。
• 随机变量离均差平方的数学期望，叫随机变量的方差， 记作Var(x)。方差的算术平方根叫标准差。
若X为连续型随机变量，则X的方差以下式给出：
V X xEFra bibliotekx2
x
dx
2 V x Varx E x
xE x
2
E
x x 2
方差的意义
• 离均差和方差都是用来描述离散程度的，即描述X对于 它的期望的偏离程度，这种偏差越大，表明变量的取 值越分散。
• 如果了解总体的一般水平和离散程度，就已经对总体有 了粗略的了解；
• 在很多情况下，了解这两个数字特征还是求出总体分布 的基础和关键。
数学期望的性质
• 如果a、b为常数，则
•
E(aY+b)=aE(Y)+b
• 如果X、Y为两个随机变量，则
•
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
• 如果g(x)和f(x)分别为X的两个函数，则
• 一般情况下，采用方差来描述离散程度。因为离均差 的和为0，无法体现随机变量的总离散程度。
• 事实上正偏差大亦或负偏差大，同样是离散程度大。 方差中由于有平方，从而消除了正负号的影响，并易 于加总，也易于强调大的偏离程度的突出作用。
方差的性质
• Var(c )=0 • Var(c+x)=Var(x ) • Var(cx)=c2Var(x) • x,y为相互独立的随机变量，则
•
E[g(X)+f(X)]=E[g(X)]+E[f(X)]
• 如果X、Y是两个独立的随机变量，则
•
E(X.Y)=E(X).E(Y)
方差
• 如果随机变量X的数学期望E(X)存在，称[X-E(X)]为随 机变量X的离均差。显然，随机变量离均差的数学期望 是0，即
E [ X-E(X) ] = 0
• 是连续型随机变量的方差
时间序列分析方法
确定型时间序列模型的参数估计
教学大纲
• 参数估计的基础知识 • 时间序列平滑方法 • 时间序列模型的回归方法
参数估计的基础知识
总体和个体
研究对象的全体称为总体，组成总体的每个基本单位称为个体。
• 按组成总体的个体的多寡分为：有限总体和无限总体；
• 总体具有同质性：每个个体具有共同的观察特征，而与 其它总体相区别；
• 每一次具体抽样所得的数据，就是n元随机变量的一 个观察值，记为（X1，……，Xn）。
• 通过总体的分布可以把总体和样本连接起来。
样本与所抽自的总体具有相同的分布
• 某一次具体的抽样的具体的数值（y1，……，yn）；
• 一次抽样的可能结果，它的每一次观察都是随机地从总体 中（每一个个体有同样的机会被选入）抽取一个，所以它 是一组随机变量（y1，y2，……，yn）
• 每一次抽样都来自同一总体（分布），也就是每一次抽样 都带来了与总体一样的分布信息。所以，样本与所来自的 总体分布相同。
统计量
• 设（y1，y2，……，yn）为一组样本观察值，函数 f（ y1，y2，……，yn ）若不含有未知参数，则称为 统计量。
• 统计量一般是连续函数。由于样本是随机变量，因而 它的函数也是随机变量，所以，统计量也是随机变量。
• 抽样是按随机原则选取的，即总体中每个个体有同样 的机会被选入样本。
随机变量
根据概率不同而取不同数值的变量称为随机变量RV
• 一个随机变量具有下列特性：可以取许多不同的数值， 取这些数值的概率为p，p满足：0 p 1
• 随机变量以一定的概率取到各种可能值，按其取值情 况随机变量可分为两类：离散型随机变量和连续型随 机变量
• 统计量一般用它来提取由样本带来的总体信息。
样本与总体之间的关系
• 样本是总体的一部分，是对总体随机抽样后得到的集 合
• 对观察者而言，总体是未知的，能够观测到的只是样 本的具体情况
• 我们所要做的就是通过对这些具体样本的情况的研究， 来推知整个总体的情况
对总体的描述——随机变量的数字特征
• 数学期望 • 方差 • 数学期望与方差的图示
研究数字特征的必要性
• 总体是一个随机变量。对总体的描述就是对随机变量的 描述。随机变量的分布是对随机变量最完整的描述
• 求出总体的分布往往不是一件容易的事情；
• 在很多情况下，我们并不需要全面考察随机变量的变化 情况，只需要了解总体的一些综合指标。一般说来，常 常需要了解总体的一般水平和它的离散程度；
– 离散型随机变量的取值是有限的，最多是可列多 个
– 连续型随机变量的取值充满整个数轴或某个区间
离散型随机变量与连续型随机变量
概
概
率
率
1.0 1.0
y 10 20 30 40 50
离散型随机变量
y 连续型随机变量
总体、随机变量、样本间的联系
• 总体就是一个随机变量，所谓样本就是n个（样本容 量n）相互独立且与总体有相同分布的随机变量 x1，……，xn。
1方差同、期望变大
2期望同、方差变小
5
5
10
5
样本分布的数字特征
• 样本分布函数 • 样本平均数 • 样本方差
样本平均数
• 总体的数字特征：是一个固定不变的数，称为参数； • 样本的数字特征：是随抽样而变化的数，是一个随机变量，称为
统计量。 • 样本平均数的定义
对于样本x1 , x2 , xn ，称
x 1 n
x
n i 1
i
为样本平均数。
• 样本平均数用来描述样本的平均水平。
样本方差和标准差
• 样本方差和标准差的定义
对于样本x1, x2 , xn，称
s x x 2 1 n n 1 i1
i
2
x x 以及s 1 n n 1 i1