高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ⇔an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ⇔a2<b2；a2>b2⇔|a|>|b|。
在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0<x<21（别漏了“0<x ”）等。
[[举例]若)(x f =x 2,则)(31)(x f x g -=的值域为 ；3)(11)(++=x f x h 的值域为 。
解析：此题可以“逆求”：分别用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。
以下用“取倒数”求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得)(31x f ->31或3-f(x)<0得)(31x f -<0,∴g(x)∈(-∞,0)∪(31,+∞)；f(x)+3>3⇒0<3)(1+x f <31⇒1<h(x)<34。
[巩固1] 若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+b a a b 中，正确的不等式有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[巩固2] 下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b ；③若a>b,c>d 则a-d>b-c ；④若a>b,则a3>b3；⑤若a>b,则),1lg()1lg(22+>+b a ⑥若a<b<0,则a2>ab>b2； ⑦若a<b<0,则|a|>|b|；⑧若a<b<0,则b a a b >；⑨若a>b 且b a 11>,则a>0,b<0； ⑩若c>a>b>0,则bc b a c a ->-；其中正确的命题是 。
[迁移]若a>b>c 且a+b+c=0，则：①a2>ab ，②b2>bc ，③bc<c2,④a b 的取值范围是：(-21,1)， ⑤a c 的取值范围是：（-2，-21）。
上述结论中正确的是 。
2．同向不等式相加及不等式的“传递性”一般只用于证明不等式，用它们求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。
同向不等式一般不能相乘，需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘。
[举例]已知函数c ax x f +=2)(，且满足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,则f(3)的取值范围是： 。
解析：解决本题的一个经典错误如下：－2≤a+c ≤－1 ①； 2≤4a+c ≤3 ② 由①得： 1≤－a －c ≤2 ③ 4≤－4a －4c ≤8 ④由③+②得：1≤a ≤35 ⑤ 由④+②得：311-≤c ≤－2 ⑥ 由⑤×9+⑥得：316≤9a+c ≤13 ⑦，即316≤f(3)≤13。
错误的原因在于：当且仅当1=－a －c 且2=4a+c 时⑤式中的1=a 成立，此时，a=1，c=－2；当且仅当－4a －4c=8 且4a+c=3 时⑥式中的311-=c 成立，此时，a=35，c=311-； 可见⑤⑥两式不可能同时成立，所以⑦中的316=9a+c 不成立；同理，9a+c=13也不成立。
正解是待定系数得f(3)=35-f(1)+38f(2)，又：35≤35-f(1)≤310；316≤38f(2)≤8 ∴7≤f(3)≤334。
在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1，c=－2时，不等式35≤35-f(1)和316≤38f(2)中的等号同时成立，即f(3)=7成立；而当a=35，c=311-时，不等式35-f(1)≤310和38f(2)≤8中的等号同时成立，即f(3)=334成立；所以这个解法是没有问题的。
可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。
注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值。
[巩固]设正实数a 、b 、c 、x 、y ，且a 、b 、c 为常数，x 、y 为变量，若x+y=c ，则ax +by 的最大值是：A ．c b a )(+B ．2c b a ++C ．c b a ⋅+2D ．2)(2b a +3．关注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等号成立的条件；具体的：xy ≥0⇔|x+y|=|x|+|y|；xy ≥0且|x|≥|y|⇔|x-y|=|x|-|y|；xy ≥0且|x|≤|y|⇔|x-y|=|y|-|x|； xy ≤0⇔|x-y|=|x|+|y|；xy ≤0且|x|≥|y|⇔|x+y|=|x|-|y|；xy ≤0且|x|≤|y|⇔|x+y|=|y|-|x|。
[举例1]若m>0,则|x-a|<m 和|y-a|<m 是|x-y|<2m 的A ．充分而不必要条件，B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件。
解析：|x-a|<m 且|y-a|<m ，则|x-y|=|x-a+a-y|≤|x-a|+|y-a|<2m ；而当m=4,x=9,y=2,a=2时， |x-y|=7<2m,但|x-a|=7>m,∴|x-a|<m 和|y-a|<m 是|x-y|<2m 的充分而不必要条件,选A 。
[举例2]不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|的解集为 。
解析：x>0，不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|等价于：|2x-log2x|<|2x|+|log2x|⇔2xlog2x>0⇒ log2x>0⇔x>1 ∴不等式的解集为（1，+∞)。
[巩固1]a,b 都是非零实数，下列四个条件：①|a+b|<|a|+|b|；②|a+b|<|a|-|b|；③||a|-|b||<|a+b|； ④||a|-|b||<|a-b|；则与|a-b|=|a|+|b|等价的条件是： （填条件序号）。
[巩固2]方程|12++-x x x |=||2-x +|1+x x |的解集是 。
4．若a 、b ∈R+，则222b a +≥2b a +≥ab ≥b a ab+2；当且仅当a =b 时等号成立；其中包含常用不等式：22b a +≥2)(2b a +；)11)((b a b a ++≥4以及基本不等式： 2b a +≥ab ，基本不等式还有另外两种形式：若a ≤0、b ≤0，则2ba +≤ab ；若：a 、b ∈R ，则22b a +≥2a b ；用基本不等式求最值时要关注变量的符号、放缩后是否为定值、等号能否成立（即：一正、二定、三相等，积定和小、和定积大）。
[举例1] 若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长，则b a 21+的最小值为 。
解析：圆心（2，1），“直线始终平分圆”即圆心在直线上，∴a+b=1,b a 21+=2232322+≥++=+++b a a b b b a a b a ,当且仅当a=b=21时等号成立。
[举例2]正数a,b 满足a+3=b(a-1),则ab 的最小值是 ，a+b 的最大值是 。
解析：ab=a+b+3≥2ab +3⇒ab -2ab -3≥0⇒ab ≥3⇒ab ≥9，当且仅当a=b=3时等号成立。
a+b=ab-3≤2)2(b a +-3⇒012)(4)(2≥-+-+b a b a ⇒ a+b ≥6, 当且仅当a=b=3时等号成立。
注：该方法的实质是利用基本不等式将等式转化为不等式后，解不等式；而不是直接用基本不等式放缩得到最值，因此不存在放缩后是否为定值的问题。
xy O 1 1 P [巩固1]在等式()()911+=中填上两个自然数，使它们的和最小。
[巩固2]某工厂第一年年产量为A ，第二年的年增长率为a ，第三年的年增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则 （ ）A ．2b a x +<B ．2b a x +≤C ．2b a x +>D ．2b a x +≥[迁移]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行、一半路程跑步，乙一半时间步行、一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则：A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．不能确定谁先到教室5．比较大小的方法有：①比差：判断“差”的正负，因式分解往往是关键；②比商：判断“商”与1的大小，两个式子都正才能比商，常用于指数式的比较；③变形：如平方（需为正数）、有理化（根式的和、差）等；④寻求中间变量，常见的有0，1等；⑤数形结合。
用定义证明单调性的过程就是已知自变量的大小比较函数值的大小的过程。
[举例1]已知0>>b a 且1=ab ，若,)1(log ,2log ,10222b a q b a p c c c +=+=<<则p 、q 的大小关系是（ ）A ．q p >B ．q p <C ．q p =D ．q p ≥解析：记x=222b a +, y=(b a +1)2, 直接比较x 、y 的大小将大费周章，但： x>22ab=1, y=2212121+<++=++ab b a ab b a =41，∴x>y ，又0<c<1,∴p <q 。
[举例2] x0是x 的方程ax=logax(0<a<1)的解，则x0,1, a 这三个数的大小关系是 。
解析：显然方程ax=logax 不能用代数方法研究。
分别作函数y=ax 及y=logax 的图象如右，它们的交点为P （x0，y0）,易见x0<1, y0 <1，而y0=0x a =logax0即logax0<1,又0<a<1，∴x0>a,即a<x0<1。
[巩固1]22ln 、33ln 、55ln 的大小关系是 。
[巩固2]设a>2，p=22-+a a ,q=2422-+-a a ,则：A ．p>qB ．p<qC ．p>q 与p=q 都有可能D ．p>q 与p<q 都有可能[迁移] 设定义在R 上的函数f(x)满足：①对任意的实数x,y ∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)；②当x>0时,f(x)>1；判断并证明函数f(x)的单调性。