解三角形专题2
令狐采学
三角形解的个数问题
A为锐角A为钝角或直角图形
关系
bsinA<a<b a≥b a≤b A<bsinA A=bsinA
无解一解两解一解无解
解的
个数
1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否
有解，并指出有几解？
(1) 78105
==∠=
a,b,A
(2) 102080
==∠=
a,b,A
(3) 105660
b,c C
==∠=
(4) 23630
a,A
==∠=
答案:(1) 90
∠>而a b<，故无解
A
(2) 90
∠<<<，故有无解
A,a b sin A b
(3) c b>，故有一组解
(4) 90
∠<<<，故有两组解
A,b sin A a b
2在△ABC中，A=45°，AB=3，则“BC=2”是“△ABC只
有一解且C=60°”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件
D ．既为充分也不必要条件
另解法
法1：大角对大边
在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”
来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求
出B 的值，根据三角函数的有界性求解．
【例1】在
ABC ∆中，已知a =b =，45B =︒，求A 、C 及c ．
解：由正弦定理，得sin sin
2
a B A
b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒．
当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452
b C
c B ︒===︒；
当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B =
==． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．
法2：二次方程的正根个数
一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元
二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数
解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．
【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．
解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，
整理得210960x x --=，解得16x =．
由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒
点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，
利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．
法3：画圆法
已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC
边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果
没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个
交点，则说明该三角形的解的个数为2．
【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（） （A ）无解（B ）有一解（C ）有两解（D ）不能确定
解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒， A B
C D A b C
a D
以顶点
C为圆心，以CB a==AD没有交点，
则说明该三角形的解的个数为0，故选A．。