三角函数与解三角形专项练习
1．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-．
（1）求角C ；
（2）若D 是边BC 的中点，11cos 14
B =，21AD =，求AB
C 的面积S ．
2．如图，四边形OACB 中，,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 的对边，且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ （1）证明：2b c a +=；
（2）若22OA OB ==，且b c =，设()0AOB θθπ∠=<<，当θ变化时，求四边形OACB 面积的最大值.
3．一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=，
（1）用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ；
（2）当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值．
4．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=；①3=2ABC BA BC S →→⋅△；①sin sin 33B B π⎛
⎫++= ⎪⎝⎭
这三个条件中任选一个，作出解答.
（1）求角B 的值；
（2）若ABC 为锐角三角形，且1b =，求ABC 的面积的取值范围.
5．已知ABC 的面积为
（Ⅰ）b 和c 的值；
（Ⅱ）sin()A B -的值.
条件①:6a =,1cos 3
=-
C ；条件②:A C =,7cos 9B =-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
6．在ABC 中，7cos 8
A =，3c =，且b c ≠，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求： （1）b 的值；
（2）ABC 的面积．
条件①：sin 2sin B A =；
条件②：sin sin 2sin A B C +=．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
7．若存在ABC 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：
（1）求A ∠的大小；
（2）求cos B 和a 的值. 条件①：33
sin 14C =；条件②：73a c =；条件③：1b a -=；条件④：5cos 2
b A =-.
8．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为ABC S
，已知7c =再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，求a 与sin C 的值.
条件①：3b =；条件②：33ABC S =△；条件③：7cos B =.
9．如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π
∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．
（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围；
（2）求S 的最小值．
10．已知向量()3sin ,3sin ,sin ,cos 22a x x b x x ππ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最大值及()f x 取得最大值时x 的取值集合M ； （2）在ABC 中，a b c 、、分别是角、、A B C 的对边，若
24C M π+∈且1c =，求ABC 面积的最大值.
11．已知函数2()2cos 12
x f x x =-+．
（Ⅰ）若()6f παα⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，求tan α的值； （Ⅱ）若函数()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的
12倍得函数()g x 的图象，且关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有解，求m 的取值范围．
12．已知函数()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，()cos h x x =，在从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）()f x 的最小正周期；
（2）()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值． 条件①：()()()f x g x h x =⋅；条件②：()()()f x g x h x =+．
13．在①222a b c ab +-=，①sin a B b =，sin 2
C C =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的ABC 存在，求出其面积；若不存在，说明理由.
问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4a b +=，2c =，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．在① sin sin sin sin a c A B b C A
++=-，②()cos cos 2cos a B b A c A B +=+这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．
已知a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若6c =，______，求ABC 面积的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin()sin 2B C a A B c ++=． （Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）已知1b =，3c =，且边BC 上有一点D 满足3ABD ADC S S =，求AD ．。